25数列解法第四招：错落有致-错位相减法求和

数列解法第四招：错落有致-错位相减法求和

“错位相减法”是一种常用的数列求和方法。那么什么样的数列求和适用于“错位相减法呢”?具体如下:

若数列

的通项公式为:

等差

等比,比如

;或者

等差/等比,比如:

,因为此式可改写成

,依然是等差

等比。

等差数列的通项公式一般为关于

的一次函数型,等比数列的通项公式一般为指数型。所以作为一般化的推广和概括,适合采用“错位相减法”求和的数列,其通项长成下面这个样子:

基本解题步骤比较固定:

和式乘公比---------往后错一位-------把两式相减-------化简和整理

以求数列

的前

项和

为例,其中

……①,

……②

由①-②得:

故

我们能够确定:一旦数列的通项公式给定,那么采用“错位相减法”计算的结果也就确定,也就是说结果是由通项里的相关量决定的,具体关系为:

若

,则

,其中

;

数列求和通常为解答题,在实施“错位相减法”求和过程中,基本的解题步骤要保留四步中的三步,即“和式乘公比---------往后错一位-------把两式相减-------化简和整理”的前三步保持不变,这个是解题的过程,需要让改卷老师看到,而最后一步“化简和整理”用上述公式计算出的结果来代替即可。

(2020全国I卷理)设

是公比不为0的等比数列,

为

,

的等差中项.

(1)求

的公比;

(2)若

,求数列

的前

项和.

解析：(1)设等比数列

的公比为

,

∵

,∴

,

又∵

,故

,解得

或

(舍).

(2)由

,可得

,设数列

的前

项和为

,

则

①

②

①-②得:

,

∴

.

1.已知公比大于

的等比数列

的前

项和为

,

,

是

和

的等差中项.

(1)求数列

的通项公式.

(2)若

,求数列

的前

项和

.

2.在①

,②

,③

这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题:已知正项等差数列

的公差是等差数列

的公差的两倍,设

、

分别为数列

、

的前

项和,且

,

,

,设

,求

的前

项和

.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.