数学家杀人的故事并没有结束
[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水
心如止水，Java程序员。善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来
★提示: 如果文中数字/公式显示较大, 请点击右上角中"刷新"即可恢复正常. 加入 [创作小组] 请点击这里.
第 1 次数学危机源自无理数，在那次危机中有著名故事『毕达哥拉斯杀人事件』。
很多科普读物勾起读者兴趣之后，并没有再继续探讨下去，让人觉得这个问题之后就被解决了。其实不然，这个争论持续了 2000 多年，直到19世纪才彻底结束。
怀疑并不是无来由的，虽然当时人们已经认识到无理数是无限不循环小数，但是你又怎么证明「无限不循环」的存在呢？19 世纪的德国数学家克罗内克就不承认无理数存在：「上帝创造了整数，其余都是人的工作。」
这是数学家的严谨态度：数学基础要建立在自然数上，如果有数不能从自然数中推出，那就是有问题的。
问题绵延2000多年也未能解决，毕竟它不妨碍生产和生活。微积分诞生后，立即就发挥了重大作用，很多在初等方法下困难重重的问题，通过它可以被轻松解决，所以已经被广泛的应用到生产生活当中了。
但微积分理论从开始就带着问题，尤其是牛顿的「流数术」，在论证的过程中舍去了「无穷小量」，并未作出解释。
其中最著名的批评者是「贝克莱主教」，他在《致一位不信神数学家的论文》中称无穷小量为「已死数的幽灵」，称微积分是「依靠双重错误得到了不科学却正确的结果」。虽然这篇文章包含着神学的味道，但提出的数学问题却切中要害。
对于微积分的责难没有停止过，但牛爵爷是个彻彻底底的实用主义者，他完全不管这事。莱布尼茨虽有心补救，但并未成功。
后来人们发现，微积分的问题在实数本身。[1] 数学的大厦上有个小裂缝，最初似乎完全不碍事，但千年的风吹雨打让它越来越大，以至于数学大厦已摇摇欲坠，数学大厦的地基需要被加固了！
▌终结者戴德金
问题终结在「戴德金」和「康托」手上，他们的工作揭示了：实数系统并不能依赖初等方法从有理数中构造出来，而须于依赖无穷集合。
构造实数的方法有很，其中最易理解的是「戴德金分割」。
首先，有显而易见的「有理数公理」：
数是有序的。不同的两个数，顺序关系有且只有一种，要不就是大，要不就是小。
数是稠密的。任何两个数中间都有其他数。
数集是可分的。以任意数 a 为界，可以将整个数集分成『比a大』(右集)和『比a小』(左集)两部分。至于数 a 本身，归于哪一边都是可以的，不影响讨论。
大致的描述一下，戴德金分割产生无理数的过程(确界公理) [2]：
先明确一下「下确界」概念：集合 E 中的所有元素都大于等于数 a，则数 a 就是集合下界。所以说，集合下界可有无穷多个，其中最大的就是「下确界」。
如果证明，数集有界就有「下确界」，并且「下确界」不是有理数，就可以通过这种方式找出「无理数」。
这里只聊下界为 0 ，其余情况皆同此理：
设 0 是 集合 E 下界，
，则有整数
，
。
能找到数
，符合
，并且是
下界，则
不是 下界。
之后，
可作为新的
，将操作递归，得到无穷小数
。
a 是下界，所以
时，
。
任意数
，也可递归产生
，则任意的数
不是下界。
那么，无穷小数
就是「下确界」，并且不是「有理数」。
实数是连续的
想象大剪刀把数轴剪断，如果数轴是由「有理数」组成的，那么剪刀可能会「减空」，也就是断口处没有任何数，而对于「实数」来说却不然，「实数」是连续的！
由戴德金分割给出的无理数定义，证明了实数的连续性(完备性)，成为数学的基础，这也被称作「数的连续统」或者「连续公理」。
从此直线上的点与数轴上一一对应了(Cantor-Dedekind 公理) [3]，代数几何之间的鸿沟被填平，持续了 2000 多年的第 1 次数学危机，画上了句号。同时也为微积分打下了坚实的数学基础，这对 19 世纪后的数学产生了巨大影响。
虽然，戴德金和集合论创始人康托尔未曾谋面，但是却有书信来往。
康托尔的的理论遭到了当时同行们的恶毒攻击，甚至可以说是迫害，以致其最后因精神失常死于疯人院。对于康托来说，戴德金是为数不多的亲密盟友了。
这部分内容中，关于实数的连续性理论还是比较直观而有趣的，在此基础上对实数的加减乘除进行定义就更枯燥了，实际上让这部分的内容对于大多数的分析学教程来说也是颇为神秘的。
《数学分析新讲》中就认为，关于实数的内容，不建议初学者一上来就学习，而是建议后期证明中遇到问题之后再回来查阅。因为还没用到的情况下，实在是提不起兴趣，令人昏昏欲睡。
参考资料
https://dalaoliblog.wordpress.com/2018/06/05/戴德金切割和连续的实数/
大数学家 (科学家传记系列) - 陈诗谷 & 葛孟曾.
https://baike.baidu.com/item/贝克莱悖论
微积分的历程：从牛顿到勒贝格 (图灵新知)
妙趣横生的数学常数
数学分析新讲
微积分发展史
https://zh.wikipedia.org/wiki/无穷小演算
https://www.cnblogs.com/iMath/p/8257142.html
注释
[1] 之所以微积分最后扯到了「实数」，和 2000 多年前的数学危机联系在了一起，是因为在牛顿和莱布尼茨之后，数学家抛弃了「无穷小」而将微积分的基础建立在了「极限」上，从而引发了关于「实数」(无理数)的探究。学习数学分析，最尴尬的地方莫过于，历史的发展和教科书的顺序经常是颠倒的。
[2] 「戴德金分割」和「确界公理」是等价的，都体现了实数的连续性。
[3] 这里所说的「数的连续统」并不是康托生前想证明的「连续统假设」。