「数学竞赛题分享」底数和指数都有未知数的方程，初等数论题

题目

试求所有满足下列方程的正整数解

分析

这道题的形式比较简单，但是讨论清楚也不容易。事实上，等式两边的底数分别是

和

，很容易看出

具有完全相同的质因数。而从结论来看，如果能够注意到

其实是

的倍数，那此题就迎刃而解了。本文提供一种比较快的解法，解法不唯一。

解答

注意到

等价于

因此得到一组解

。

不妨设1'>

，令

，可得

，从而

，由于

是一个正有理数，不妨设

，其中

是互质的正整数，因此

若

，则右式是一个正整数，那么要使左式为正整数，只能有

，此时

，考察函数的单调性可知，当

时

，此时

不可能为整数，因此

。当

时，有一解

；当

时，有一解

；其他情况无解。

若

，则改写成倒数形式

其中右式是一个整数，同理只能有

，此时

，而

，则

，考察函数单调性可知，当

时

，进而这种情况无解。

综上所述，原方程的解为

或

或

。

点评

本文提供的解法是使用

将指数和底数之间的关系用

联系在一起进行分析。事实上也可以分析出

是

的倍数进行解答，再或者可以分析

的最大公约数也行，其他解法留给读者思考。此题出自第37届 IMO。