人教版 | 初二春 · 正方形综合

李仙儿课堂开课啦

跟着李仙儿 数学飞天

李仙儿寄语:
分久必合合久必分
正方形的出现意味着
四边形的大家族走向了统一
你学过关于四边形的一切方法
在正方形中都可以适用哦
偷偷说一句
前方有“巨大巨大巨大”的福利出没!

快快往下看看!
1.正方形的性质与判定

【知识点一】正方形的定义

1.定义:四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形

【知识点二】正方形的性质

❀性质:正方形既是矩形,又是菱形,具有矩形和菱形的一切性质;

性质1:正方形的四个内角都相等,且都为,四条边都相等;

性质2:正方形的对角线互相垂直平分且相等,对角线平分一组对角;

性质3:正方形有4条对称轴,两条对角线所在直线和过两组对边中点的两条直线;

另外,由正方形的性质可以得出:
(1)正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形.
(2)正方形的面积是边长的平方,也可表示为对角线长平方的一半.

【知识点三】正方形的判定

判定:
判定一个四边形是正方形,除了定义之外,还可以采用以下方法:
(1)先证明是矩形,再证明该矩形有一组邻边相等,或对角线互相垂直.
(2)先证明是菱形,再证明该菱形的一个角是直角,或两条对角线相等
2.正方形的重要模型

【知识点一】弦图模型(三垂直模型)

❀必备大招:
图中四块三角形均为全等;(一般会用到其中的两个全等)
见到斜直角构造三垂直模型;(常见辅助线添加如下)
★典例放送:
(2021春·海珠区校级期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(-2,0),B(2,b),则正方形ABCD的面积是( )

A. 34                 B.25

C.20                  D.16

【知识点二】十字架模型
❀必备大招:
正方形中存在十字交叉垂直,则必然出现交叉线段相等;
例如:GH=EF,AH=EF;
上述结论可以通过添加适当的辅助线来构造全等证明,如图
★典例放送:

(2020春·婺城区校级月考)如图,正方形ABCD的边长为6,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:EC=2:1,则线段GH的长是

【知识点三】手拉手模型

❀必备大招:

相等边+相等边+公共角得旋转型全等三角形△ABG≌△ACE;
八字模型倒角即可得出BG⊥CE;

★典例放送:

(2020秋·秦都区期末)如图,正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A,E,O在同一直线l上,且EF=√3,AB=3,给出下列结论:①∠COD=45°,②AE=5,③CF=BD=,④S△COF=3,其中正确的个数为(  )
A.1个                B.2个
C.3个                D.4个

【知识点四】对角互补四边形模型

❀必备大招:

(1)正方形对角线成90度角,出现双90度构造对角互补四边形,则过正方形的中心点分别向两边作垂直,构造旋转型全等;(如图,△MPA≌△PQB)
(2)该模型常和三垂直模型结合解题;
★典例放送:

(2019春·闽侯县期末)如图1,在平面直角坐标系中,放置一个边长为5的正方形ABCD,人使得它的两个顶点B和A恰好落在x轴正半轴和y轴正半轴上,M为正方形的中心.

(1)若点B和点A在x轴和y轴上滑动,求证:在这个运动过程中,M始终在第一象限的角平分线上.
(2)若点A运动到(0,3),求此时M点的坐标.

【知识点五】旋转90°半角模型

如图,在正方形ABCD中∠FAE=45°
❀必备大招:

1.EF=BE+DF ,2. △CEF的周长 = 1/2正方形ABCD周长

★结论延伸:

(1)AE、AF为角平分线

(2)GH²=BH²+DG²
证明方法:将BE和DF放在同一条直线上,故将△ABE或者△ADF进行90°旋转,构造新全等(△AMF≌△AEF≌△AEN)
END

今天的推文里

一共有四道典例放送

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