初中数学题型汇总:与三角形有关的角平分线模型

【方法技巧】

角平分线性质+三角形内角和定理+三角形外角性质十整体思想,化归思想+设参数计算.

类型一 :角平分线+高线夹角模型(设参计算+整体思想)

【典型例题1】

(1)已知△ABC中,∠B>∠C,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,如图1,设∠B=x,∠C=y,试用

x,y表示∠DAE,并说明理由;

(2)在图2中,其他条件不变,若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点,FD⊥BC于D”,试用x,y表示∠DFE=________________;

(3)在图3中,若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”,其余条件不变,试用x,y表示∠DFE=________________;

(4)在图3中,分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线,交于点P,如图4.试用x,y表示∠P=_______________.

图1             图2           图3           图4

【思路分析】

(1)首先利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数,进而可求出∠BAD的度数,由垂直可得∠BAD=90°-x,进而可求∠EAD的度数;(2)(3)同(1)可得;

(4)由题意可知:∠PAF=1/4(180°-x-y),再利用已知条件、对顶角的性质和角平分线的性质即可求出∠P的度数

【答案解析】
类型二 :燕尾形双角平分(设参计算+整体思想)
【典型例题2】

如图,BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD,它们交于点P.求证:∠P=1/2(∠A+∠D).

【思路分析】根据角平分线的性质及内角与外角的关系解答即可.
【答案解析】

延长BP交AC于点E,设∠PBA=∠PBD=x,∠PCA=△PCD=y,

∠BPC=∠BEC+y=x+∠A+y,∴x+y=∠BPC-∠A,同理可得∠D=x+y+∠BPC=2∠BPC-∠A.

∴2∠BPC=∠A+∠D,

∴∠P=1/2(∠A+∠D).

更多内容见公众号:初中数学解题思路

类型三 :蝶形(8字形)双角平分(设参计算十整体思想)
【典型例题3】

(1)模型:如图1,AD,BC交于O点,求证:∠D+∠C=∠A+∠B.

(2)模型应用:如图2,∠BAD和∠BCD的平分线交于点E.

①若∠D=30°,∠B=40°,则∠E的度数是_______;

②直接写出∠E与∠D,∠B之间的数量关系是_______;

(3)类比应用:如图3,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E.若∠D=m°,∠B=n°,(m<n).求∠E的度数.(用含有m,n的式子表示)

图1                 图2                   图3

【思路分析】(1)用外角即可转换;(2)反复运用模型即可;(3)类比(2)的方法.
【答案解析】

(1)∠AOC既是△AOB的外角,又是△COD的外角,

∴∠D+∠C=∠AOC=∠A+∠B;

(2)①35°;②∠E=1/2(∠D+∠B);

(3)延长BC交AD于F,

∴∠BFD=∠B+∠BAD,∴∠BCD= ∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D.

∵CE平分∠BCD, AE平分∠BAD,

∵∠ECD=∠ECB=1/2∠BCD,∠EAD=∠EAB=1/2∠BAD,

∵∠E+∠ECB= ∠B+∠EAB,

∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-1/2∠BCD=∠B-∠BAE-1/2(∠B+∠BAD+∠D)=1/2(∠B-∠D),

∵∠D=m°,∠B= n°,即∠E=1/2(n-m)°.

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