单位圆与三角函数

小贴士

单位圆(Unit circle)是指坐标为原点, 半径为长度为 1 的圆. 单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义. 如果给定一个角度

则为逆时针转动, 比如转到单位圆上的点

.

▌角度与弧度
在三角学中, 角度除了可以用度(°)来表示, 为了方便起见, 常使以弧度(Radian)为单位, 通常不写出弧度单位, 或就简写为 rad. 单位弧度定义为圆弧长度等于半径时的圆心角. (下图自维基)

一个完整的圆的弧度是2π. 下面是单位圆圆周滚动一周

的动画(下图自维基):

弧度和度数之间的转换有下面等式:

也请观察下面动画:

下面图中是在度和弧度之间转换的动画, 注意

角均用弧度制和角度制表示.

角所对应的单位圆上的点的坐标为

.

在微积分和大多数数学科目中, 角度通常用弧度来衡量. 因为弧度单位会带来很多计算上的简便, 以及可以推导出很多漂亮的等式. (推荐阅读《角的疑惑——为什么使用弧度？》).

▌拥有不同长度的单位圆

数学家也用其他距离测量来定义更一般化的"单位圆", 关于这个有趣的话题请观看 [遇见数学] 翻译小组的这个视频《当 π 不等于 3.14》.

▌单位圆与三角函数
三角函数可以由单位圆来定义. 如果点

位于单位圆上, 那么斜边的长度即为单位圆半径 1. 根据勾股定理,

和

满足等式:

又因为

,

, 得到下面恒等式:

单位圆上一点到

轴的距离是这个角的正弦

, 到

轴的距离则是这个角的余弦 cosine(

). 观察下图很好地解释了正弦和余弦是怎么回事.

不仅是正弦与余弦, 其余四个标准三角函数: 正切(

), 余切(

), 正割(

), 余割(

) 都可以在单位圆表示出来.
一个角的正切 tangent(

) 是

除以

, 余切 cotangent (

)则是

除以 sin.

而对

和

在单位圆上有一种漂亮的几何解释, 如果过

角单位圆上的点, 画出圆的切线, 那么切线和

轴交点之间的距离, 就是这个角度的

, 这个点与切线和

轴的交点的距离, 就是这个角度的

. 这种解释能让人直观感受这两个值的意义. 观察下面动图, 看看余切何时变小, 正切何时变大.

类似地, 正割 secant(

) 的定义是

, 而余割 cosecant (

)的定义是

, . 在可以根据下图所示的两个相似三角形来证明(感兴趣的可以动手做下).

并且

和

也有类似的几何解释, 当切线与

轴的交点到原点的距离就是这个角度的

, 而切线与

轴的交点到原点的距离则是这个角度的

.

还有一点值得注意的地方,

,

和

对应线段的长度都与

轴有关系.

而

,

和

对应的线段长度都与

轴有关系, 这里不再重复绘制. 我们只将这

个三角函数它们一并绘制出来.

▌复平面上的单位圆
复平面上的单位圆, 也就是复数

的形式:

函数又称纯虚数指数函数, 是复变函数的一种, 和三角函数类似，其可以使用正弦、余弦函数来定义.
观察下图不同的

值对应的

, 请留意动画停顿之处(特别是在复平面中等于

的地方).

对于不在单位圆上的点, 你只需乘以

, 也就是如果

和

为相同的点, 则

从上图中可以得知

关于

是周期的, 且周期为

. 这意味着

(完)