【九上数学】巧用相似求弦长

今天笔者带领同学们学习垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的弧。

如图AB为直径，若AB⊥CD，

在课堂上，我们遇到了这样一个问题：如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，以点C为圆心，AC长为半径的⊙C与AB交于点D，已知AC=6，CB=8，求AD的长。

分析：根据已知条件，同学们根据勾股定理很快求出了AB的长度，但要想求弦AD的长度，需要过点C作CH⊥AD,只需求出AH即可。

那么如何求AH的值呢？透过同学们的共同努力，他们想到了三种解法。

解法一：面积法

解：过点C作CH⊥AD于H.

解法二：勾股定理法

解：设AH为x，则BH=10-x

因为CH^2=8^2-(10-x)^2，

CH^2=6^2-x^2

则8^2-(10-x)^2=6^2-x^2

解得x=3.6

AD=2AH=7.2

解法三：相似法

解：因为∠A=∠A,∠AHC=∠ACB

所以△AHC∽△ACB

所以AH/AC=AC/AB

即AH/6=6/10

故AH=3.6,AD=2AH=7.2

小结：透过三种方法的对比，同学们发现利用相似的方法计算量最小，并且发现这就是我们之前所熟悉的母子相似三角形模型，利用这个模型可以得出一个重要的结论：

AC^2=AH.AB