高进高维空间系列第一部分——高维球体中所有点都集中在边界上！
当我告诉我的朋友和同学当我想到高维空间时，我会莫名其妙的很兴奋。他们会认为我是一个怪人，但是他们也倾向于用科幻小说来解释“更高维度的空间”，类似于其他维度或平行宇宙。然而，这篇文章将用一些简单的几何概念，那些我们在二维或三维中都很熟悉的东西，但是把它们应用到越来越高的维度中，就会看到一些非常酷而且看起来非常奇怪的结果。
具体地说，我想向你们展示，当我们从一个圆中随机选取的点，从二维到三维(一个三维球体)，再到超过100维(一个100维超球体)，会发生什么。如果这没有任何意义，请不要担心，我稍后会解释清楚的。
最简单的情况下
让我们从最简单的情况开始，从一个2球中选择随机的点，或者我们通常所说的圆。想象一下，在一张纸上画一个圆，然后用你的笔在这个圆内尽可能随机地点上一堆点。从技术上讲，我将使用Python来生成圆内的点，但是思想是一样的。
我想让大家思考一下这些点的一个特征：它们离圆心有多远。每个圆，都有一个中心。关于空间中的球，球体上的每个点都与其中心等距。中心和外部球体之间的距离是球体的半径。为了简单起见，我们只讨论半径为1单位的球。所以，在2维球（圆）的情况下，我们知道每个点到圆心的距离必须是0到1之间。
我们的直觉告诉我们这些点平均离圆心有多远？具体来说，如果我们用尺子测量中心和每个点之间的距离，然后计算平均距离，会怎么样呢？让我们一起来看看！这是一个以坐标(0,0)为中心的2维球（圆），我们称其为原点，半径为1，随机选取1000个点。
就我个人而言，我的直觉是，点到原点的平均距离是半径的一半，即0.5。这些点均匀分布在圆中，所以我们可以合理地假设，这些点到中心的距离也均匀分布在0和1之间。这似乎很合理，对吧？但它不是！每个点到中心的平均距离是0.67。如果我们仔细想想，就会很清楚为什么平均距离应该大于0.5。让我们想一下圆的面积公式πr^2。一个半径为1的圆，面积等于π，约为3.14。让我们把圆分成两个不同的不重叠的区域：一个是所有点到中心的距离都小于0.5个单位(蓝色)，另一个是所有点到中心的距离都大于0.5个单位(红色)，如下图：
蓝色区域表示到中心的距离小于0.5的所有点，红色区域表示到中心的距离大于0.5的所有点。我们可以用上面相同的方程计算蓝色圆的面积，圆半径是0.5，面积为π/ 4。因为我们知道整个圆包括红色和蓝色区域，我们可以计算红色区域的面积为3π/ 4。红色区域，即所有点距中心大于0.5个单位，占了圆面积的75%。因此，75%的几率距离中心大于0.5个单位远，25%的几率距离中心小于0.5个单位远。这就是为什么从中心到每个点的平均距离大于0.5。让我们看一下从每个点到圆心的距离的分布，使用直方图：
上面的直方图显示了从中心落在0到0.1单位之间，从中心落在0.1到0.2单位之间直到0.9到1之间的点的百分比。这清楚地向我们表明，远离中心的点多于靠近中心的点。说实话，这与我最初探索高维空间的目标相去甚远，但我认为它强调了一个概念，当我们很快进入高维空间时，这个概念将会很重要，也就是说，即使在一个二维的圆中，离中心远的面积比离中心近的面积大。
好了，既然我们已经讨论了二维圆的最简单的情况，让我们来看看有趣的东西吧！当n从2增加到3、4、5或更高时，从点到n维球体中心的距离会发生什么变化？
什么是四维球？
在我们继续探索高维n球的中心和点之间的距离之前，让我们先来弄清楚对于三维以上的点和球来说意味着什么。我们很清楚二维的情况，它只是圆上的点。我们也相对容易理解三维的情况，它只是三维空间中的一个点在一个三维球的内部，如下图：
3维球体和2维球体一样，只是多了一个维度。也就是说，以原点为中心且半径为1的3维球体表示三维空间中距原点小于等于一单位距离的点的集合。为了计算每个点到中心的距离，我们可以想象使用尺子。然后，我们可以计算点与中心之间的平均距离以及距离的分布。
不幸的是，我们人类无法想象三维以上的空间。在三维之外，我们不能再看到球内的点，也不能再轻易想象用尺子测量点到球中心的距离。但是不要担心，因为这些事情是困难的，甚至不可能想象的事实是乐趣的一部分！在没有视觉辅助的情况下，我们必须求助于我们可靠的朋友——数学。记住，以原点为中心，半径为1的二维球代表了二维空间中距原点一个单位距离内的所有点。同样得，以原点为中心，半径为1的3维球体代表了三维空间中距原点一个单位距离内的所有点。
那么4维球体呢？你可能已经猜到了，一个以原点为中心，半径为1的4维球体代表了四维空间中距原点一个单位距离内的所有点！我想你们中的一些人可能会问自己，“他说的四维空间到底是什么意思？”就像我们可以在二维的纸上用两个坐标表示点，比如（x1，x2）；我们可以用三个坐标表示三维空间中的点，比如（x1 ，x2， x3）；我们可以用四个坐标来表示四维空间中的点，比如（x1，x2，x3，x4）我们不需要止步于四维球体，我们可以添加任意多个维度。一旦我们超越了三维空间，我们可能无法看到实际的点，但是我们可以用坐标来表示它们，重要的是，我们仍然可以测量它们到原点的距离。
你可能会问，我们如何在三维以上的空间中测量距离？嗯，对于二维和三维，我们讨论了用尺子测量每个点到二维或三维球体中心的距离。不用尺子，我们可以很容易地使用几何学最基本的定理之一：勾股定理。这就是我们用来测量空间中两点之间的距离的方法，或者说是一个球中的一点到球中心的距离。你可能还记得用勾股定理来测量直角三角形的斜边，如下图所示：
在二维平面中，点到球中心的距离实际上是三角形的斜边！
具体来说，a是圆心到点在x轴上的坐标的距离，b是圆心到点在y轴上的坐标的距离，c是圆心到点本身的距离。所以，用勾股定理代替尺子，我们可以计算两点到圆心的距离：
c的另一个名字是点到球中心的欧式距离。因此，我们可以利用勾股定理来计算二维空间中两点之间的欧式距离。三维空间呢？利用勾股定理的推广，计算了三维空间中一点到原点的欧几里得距离。具体来说，如果我们有一个点在三维坐标(x1, x2, x3)上，那么我们可以计算出这个点到原点的距离如下：
我不会细讲细节，但这实际上等同于两次应用二维勾股定理——只要想想如何使用两个二维直角三角形在三维空间中到达一个点。
所以，如果我们想要测量n维空间中原点到点的距离，我们只需要把每个坐标的平方加起来，然后开方，如下所示：
它的另一个名字是欧几里得范数，从原点开始，到目标点结束，它到处出现，包括在一些超级酷的统计方法中。但是现在不要太担心这个。
好的，我们现在理解了以原点为中心且半径为一个单位的n维球体，以及如何测量n维空间中两点的距离。
事情开始变得奇怪
首先，让我们看一下随着维度n的增加，点与原点之间的平均距离会发生什么变化。所以，对于每一个n，从2开始，一直到100，让我们计算球体中所有的点到球心的平均距离。具体地说，我要模拟的随机点在每个n维球体中到原点的距离，然后计算每个维度中的平均距离的。下面是每个n维球体中的点与原点之间的平均距离的分布图。
正如我们前面学到的，我们看到，在二维球体中平均距离约为0.67个单位，但当n增大时，这种平均距离也在增加。在三维球体中，平均距离是0.75个单位，四维中是0.91个单位……100维球体中，平均距离是0.99个单位！这是怎么回事？似乎当维度越来越多时，点似乎集中在球的边界上！因为记住，不管维数是多少，对于半径为1n维球体，从原点到球内任意一点的最大可能距离是1。为了好玩，我们来看看3维球体、10维球体、20维球体和100维球体从点到原点的距离分布。
还记得我们刚开始做圆的时候吗?我们发现，大多数点(确切地说是75%)离原点的距离大于0.5个单位，25%的点离原点的距离小于0.5个单位。当我们进入更高的维度时，找到一个小于0.5个单位的点的可能性变得微乎其微。例如，即使在只有10个维度的情况下，少于0.001%的点离原点的距离也会少于0.5个单位！
让我们暂停一下，思考一下这个问题。在任意高维的n维球体中，体积的绝大部分正好位于球的外边界上。对我来说，这就是所有乐趣所在！我们不能明确地想象这些空间，但它们表现出这样奇怪和意想不到的特征。
在这样的空间里走动会是什么感觉？没有一个点可以离原点超过一个单位，然而几乎所有的体积都以某种方式集中在边界上！那是怎样的世界!
这只是我们进入更高维度空间的奇妙旅程的开始。事情只会变得更奇怪，持续关注我，未完待续！