中考数学：几何探究压轴题

题目有一定的难度，都在第三小题的计算上；

解析：

（1）这一小题送分部分，学三角形的时候肯定都遇到过这个证明题，可知∠A=2∠E；

（2）要证明这个遥望角，就按照题干给出的定义去证明即可

所以我们得把外角补充一下

只要证明BE和CE是角平分线即可

首先∠DCH是圆内接四边形ABCD的外角

所以∠DCH=∠BAD

而根据等弧对等角可知∠ACD=∠BAD

所以可得CE是∠ACH的平分线

接下来证明BE，

首先有∠ABF=∠ADF

而∠EDF，如果连接AF，则可得∠EDF=∠CAF=∠CBF

结合已知DF是角平分线

所以可得∠ABF=∠CBF

那么结合两条角平分线，可得∠E是∠BAC的遥望角；

（3）这一小题如果路子不对，是要费很大劲儿的

①根据已知条件可知没有角度，唯一能够得到的角度就是直径所对的圆周角

那么观察∠AED可直接预判45°；

要证明45°角，直接证明等腰直角三角形即可

可以连接BD

根据条件可知AD=BD，那么只要BD和DE相等即可

由前面可知∠BAC=2∠BED

那么要证明角BAC也是∠DBE的2倍，我们需要构造2倍角

所以我们延长BD，利用三角形的外角来构造2倍角

根据四边形ABDF内接，可得∠FDM=∠BAF

而∠EDF=∠ADF=∠ABF=∠CBF=∠CAF

所以∠EDM=∠BAC=2∠BED

因此∠EBD=∠BED

则BD=DE=AD

而∠ADE=90°

所以△ADE为等腰直角

那么∠AED=45°；

②求三角形的面积，那么少不了底和高

DF、EF、DE三条边，根据图形也知道选DE当做底比较好

所以做出高

现在有底和高了，那么就需要求出二者的长度

题中给出的是AB和CD，看似根本不着边，但是我们仔细观察点D，根据已知条件可知连接OD就可以垂直平分AB，那么可知D到BC的距离为4

那么我们过D做BC的垂线

可知CD=5，DP=4，则CP=3，刚好是3、4、5的Rt三角形

结合∠ACD=∠DCP，可知AD：AC：CD=4：5：3

可得AD=20/3=DE

DE长度得到了，还差FN，而FN在△DFN中，根据条件可知△DNF是等腰直角，所以FN=DN，那么只需要搞定DN即可

DN=CN-CD

则需要CN长度，那么我们就需要借助CE了

所以CE=35/3

那么N的位置如何确认，如果是中点就好了，刚好这个FN是我们做的垂线，如果能够三线合一不就行了吗

那么连接CF试试

如果CF=EF，则我们需要的条件都能成立

根据BF是平分线，可得AF=CF

而结合前面的DF是∠ADE的平分线，同时△ADE是等腰直角，那么三线合一，DF垂直平分AE，那么AF=EF

所以CF=EF成立

那么N为CE中点

所以CN=35/6

则DN=FN=CN-CD=5/6

所以S△DEF=DE·FN/2=25/9；

如果上面的方法你想不出来，那么也可以用下面这个方法，将DF当做底，因为DF是是等腰直角三角形的角平分线，所以我们只需要延长DF即可

顺便连接CF，毕竟得知道AF或EF长度才能确认DF的长度

根据△ACF是等腰直角

只要知道AC长度也就是直径，即可得到AF

而AC在刚才我们得到△ACD中345比例后可以求出，不再提供数据

所以AF可以求得，而结合AD的长度可知AM

那么勾股定理可得MF，

由AM=MD可得DF长度

所以，以DF为底，EM为高，则可求得△DEF的面积；