趣玩数学和物理，用麦克斯韦方程推导出光速 / 开普饭

真空中的光速约为30万千米/秒。有许多实验让我们能够非常精确地测量这个量，但有一种相当优雅的方法可以得到相同的数字，只需要使用一些数学知识和一些物理中不那么复杂的理论。在这篇文章中，我们将看到如何利用麦克斯韦经典电磁学方程来推导光速。

我们从麦克斯韦方程开始推导：

在真空中，我们可以设置电荷密度𝞺= 0，电流密度J = 0。这就得到了仅用电场E和磁场B表示的简化方程：

接下来，我们可以将电场彼此解耦，这可以通过对式(2a)和式(2b)的两边应用旋度算子来实现：

利用向量微积分的双旋度恒等式我们可以把电磁方程的左边写成：

其中，由于式(2c)和式(2d)的散度项为零。因此，方程简化为：

将式(2b)代入式(3a)，将式(2a)代入式(3b)

仔细观察这些方程，我们注意到它们看起来很像更一般的波动方程：

这样我们就可以写：

通过设定光速：

其中𝝻0 = 4𝝿𝗑10^(-7)H/m（自由空间磁导率），ε0 = 8.85418782 × 10^(-12) m^(-3) kg^(-1) s^ 4A ^2(自由空间介电常数)。将这些值代入式(6)就得到了真空中光速的估计值：

这个结果证明了两个非常重要的观点，首先，它告诉我们真空中的麦克斯韦方程可以用波来表示；第二，磁场和电场都以相同的速度c传播。我们也可以在频率空间中通过两边的时域傅里叶变换来研究这些方程：

由此得到波数k = ω/c，将表达式简化为一组亥姆霍兹方程：

真空中麦克斯韦方程组的解适用任何f(r - ct)型行波。我们感兴趣的一个特殊情况涉及到时谐场，我们可以利用它的解：

其中波矢遵循|k| = ω/c的关系，c.c.表示第一项的共轭复数（这是因为电场和磁场是实数，不要把c.c.与光速混淆）。因此，这两个波的大小之比是：

要算出这个常数是多少，需要知道作用在电荷q上的洛伦兹力：

假设速度v恒定，没有外力使F = 0，我们得到：

因此，取两边的大小就会得到结果：

此外，在特殊情况下，θ =𝛑/2意味着两个场是垂直的，我们得到：

这意味着真空中电场和磁场的大小之比必须等于波的传播速度。因此，可以很容易地用相同的场振幅E0重写这两个解：

趣玩数学和物理，用麦克斯韦方程推导出光速