五年级：美妙数学之“涂色正方体中藏着什么秘密？”（0613五）
美妙数学天天见，每天进步一点点。亲爱的同学，你好，我是朱乐平名师工作室的王华栋老师，你知道“涂色正方体中藏着什么秘密吗？'我们一起来探秘吧。
一起回顾微课学习的过程
提出问题
2
研究三阶正方体
这是一个表面涂色的正方体，对于它，你知道哪些知识？
8个顶点，12条棱和6个面。
思考：像这样把它切成27个小正方体，切开后，每个小正方体都是一模一样的吗？
我发现切开后小正方体的涂色面数不同。
我发现在这个顶点的这个小正方体它有3个面是红色，因为它三面相交，而在棱中间的这个小正方体它只有两个面是红色，因为它两面相交，在面中间的这个正方体它的涂色面就更少了，只有1个。
我有补充，还有一个小正方体它藏在最里面，在大正方体的内部，一个面都没有涂色。
他们发现了涂色面数和位置的关系。涂色面数有3面，2面，1面和0面。位置分别在顶点、棱中间、面中间和体内部。
那它们又有几个呢？请你结合图来找一找。
我有发现，如果我只观察3面涂色的，我发现每个顶点上都有1个，一共有8个。
每条棱中间都有1个两面涂色的，一共有12条棱，那就是1×12=12个
面中间的规律我知道，每个面中有一个，一共有6个面，那就是1×6=6个。
没有涂色的在体内部，切掉涂色的后，就只剩下它了。
你听明白了吗？他们根据正方体的位置特征，找到了相应的个数。经过检查发现，所有种类的小正方体的个数相加，正好等于27个，没有遗漏。
3
研究四阶、五阶正方体
四阶，图形更大了，该怎么办呢？
和三阶一样，只要看它的位置就可以了。
一面涂色的在顶点上，有8个。二面涂色的在棱中间，一条棱上有2个，一共有2×12=24个。一面涂色的在面中间，每个面有2×2=4个，一共有4×6=24个。最后来看内部，把它每个面都切一层，里面有2×2×2=8个。
是的，也是观察位置。我们不难发现5阶三面涂色的有8个，两面涂色的有3×12=36个，一面涂色的有3×3×6=54个，0面涂色的有3×3×3=27个。
4
研究n阶正方体
观察这个表格，你能找到阶数和它涂色的面的个数的关系吗？想一想，如果是n阶的正方体，又各有多少个呢？
不管是几阶，三面涂色的小正方体都是8个，它们都在顶点处，顶点有8个，所以n阶也是8个。
那我发现两面涂色有这样的规律，不管是多少阶，都要去掉每条棱上最边上的两个。两面涂色的个数就等于（阶数-2）的差乘上12条棱。如果是n阶，那就是（n-2）×12。
现在只要看一个面就行了。因为不管是几阶，每个面上都要去掉最外面的一圈，所以每个面的个数就是（阶数-2）的差的平方，再乘上6个面。现如果是n阶，那就是（n-2）的差的平方×6。
最后还剩下没有涂色的，只要把最外面的涂色正方体都去掉，等于（阶数-2）的差的立方。那n阶就是（n-2）的差的立方。
5
回顾学习过程
三阶正方体中，三面涂色的在顶点处，共有8个；两面涂色的在棱中间，每条棱都要减掉顶点处2个，一共有（3-2）×12=12个；一面涂色的在每个面的中间，上下、左右各减2，一共有（3-2）×（3-2）×6=6个；没有涂色的在体内，要减掉表面的所有小正方体，上下、左右、前后各减2，一共（3-2）×（3-2）×（3-2）=1个。也就是涂色小正方体的个数跟所在的位置和正方体的阶数有关。
审核人：吴恢銮 李春英