用射影面积法求二面角在高考中的妙用

立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念,求二面角的大小更是历年高考的热点问题,在 每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多,但是,对无棱二面角,或者 不容易作出二面角的平面角时,如何求这个二面角的大小呢?用射影面积法是解决这类问题的捷径,本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用,以飨读者！

定理

已知平面

内一个多边形的面积为 S它在平面

内的射影图形的面积为S ' 平面

和 平面

所成的二面角的大小为

则

. 本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证。

点评：例 1 和例 2 中的二面角就是无棱二面角，例 3 和例 4 中的二面角虽然是有棱二面角，但是，不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！