最大公因数与最小公倍数的应用

因数和倍数是相互依存的一对数学概念。如果a能整除b,则称a为b的因数,b为a的倍数。一个数的因数个数是可数的,最小因数为1,最大的因数是这个数本身,因数有最大因数。一个数的倍数有无限多个,倍数有最小倍数,最小倍数是这个数本身,没有最大倍数。

如果一个数能同时整除两个(或两个以上)不同的自然数,那么我们称这个数是它们的公因数;两个(或以上)不同的自然数都有的倍数称为公倍数。一般地,最大公因数和最小公倍数最常见常考。

例1、将一个长24厘米,宽18厘米的大长方形布料,裁剪成若干个小正方形,并且刚好裁剪完没有剩余,则小正方形的边长最大是多少厘米?能裁成多少个这样的小正方形?

这一个题目就是需要用到最大公约数,原有布料是一个大长方形,长24厘米,宽18厘米,要使布料全部裁剪成正方形没有剩余,那么小正方形的边长数就要能同时整除24和18,就是24和18的公因数。又要使边长最大,那就是最大公因数。24的因数有:1,2,3,4,6,8,12,24共8个;18的因数有1,2,3,6,9,18共6个。在这些因数中1,2,3,6是公因数,最大的是6。所以裁剪成的小正方形边长最大为6厘米,能裁(24÷6)×(18÷6)=12个。

例2、一个小长方形,长6厘米,宽4厘米,至少需要多少个这样的小长方形才能拼成一个大正方形,此时,大正方形的边长是多少?

这一题中,要把小长方形拼成大正方形,显然是用到倍数,因为长方形常6厘米,宽4厘米,所以拼成的大正方形边长必须是6和4的公倍数,6和4最小的公倍数是12,所以大正方形的边长为12厘米,需要(12÷6)×(12÷4)=6个这样的长方形。

练习1、一路公交车5分钟发一班车,二路公交车6分钟发一班车,早上同时发第一班车,之后至少需要多长时间才能再次同时发车?

练习2、某班采购了84个数学本,42个语文本,平均分发给班上的同学,正好分完,那么这个班最多有多少人?

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