2021高加索数学奥林匹克 初级组 中文翻译

第一天

1.实数, , 满足, , . 求 所有可能的值.

2.在中线上取一点, 使得. 若, 求证:

3.有个非零整除， 且其中任意一个都可以被其余个数的和整除. 求证: 所有这些数的和为.

4.彼得用一些边长为的火柴棍搭成了一个的正方形网格, 随后进行如下操作:
在每一步中, 彼得选择一个当前与或个火柴棍相连的顶点, 并移除其中个共线的火柴棍(这个火柴棍组成一个长度为的线段). 彼得进行若干次操作之后, 求剩余火柴棍个数的最小值.

第二天

5.正整数满足为完全平方数.
求证: 也为完全平方数.

6.帕莎和沃娃用个球玩游戏. 首先, 他们将这些球排成一行. 随后, 帕莎先开始, 两人轮流给球染色:
在每回合中, 当前玩家可以将任意一个未被染色的球染成红色,或黄色, 或蓝色.随后进入下一回合,由对方进行操作. 当所有球都被染色后, 若存在个连续的球,颜色各不相同, 则帕莎获胜, 否则沃娃获胜.
问谁有必胜策略?

7.锐角中, 为垂心, 为外心, 为高. 在线段上取点, 使得, 在线段上取点, 使得. 求证: 共线.

8.若一个正整数集满足, 其元素个数恰好等于所有元素的平均数, 就称这个集合是"好的". 如果一个正整数满足, 集合 可以被划分为若干个"好的"集合, 就称这个正整数是"令人惊叹的".
证明所有完全平方数为"令人惊叹的".
证明存在无穷多个正整数不为"令人惊叹的".