传奇数学家康威，生命游戏的创造者，最伟大的数学玩家
2020年4月11日，约翰·霍顿·康威因新冠病逝，享年82岁。这位杰出的数学家的研究领域包括群论、扭结理论、几何、分析、组合博弈论、代数、算法，甚至理论物理学。
康威发明了一种游戏，叫做“生命游戏”（Game of Life），它在50年后仍令人着迷。据康威说，他最重要的贡献是他概念化了一个叫做超现实数字的奇妙数字系统。这系统包括整数、实数、超限数和无穷小，这种结构以前没有人想象得到，在这种结构中，所有东西都可以进行相加、相乘等运算。
与康威共事过的人都说，他思维敏捷，一听到一个问题陈述，他通常就已经有了解决方案。康威致力于为每个人设计数学，这让他致力于发明让休闲数学爱好者感兴趣的谜题，比如著名的考拉兹猜想。
根号2的无理性
最令人惊讶和重要的数学发现之一是根号2的无理性——一个边长为一个单位的正方形对角线的长度。它不能表示为正整数n和m的商。这是数学上第一个否定的发现，它表明人类并不是创造了控制数字的定律，而是在探索未知数学领域的过程中发现了这些定律。
虽然这个定理有很多证明，但最直观的是康威在2005年出版的一本书中提到的一个非常简单的图解。若根号2是n和m的商，也就是说，2 = n^2/m^2。则存在边等于n的正方形，其面积是边等于m的正方形的两倍。我们假设在图中，m是满足这个方程的最小正整数。这个假设只有在没有更小的正整数满足时才成立。
这个形状中的两个红色方块必须与中间的紫色方块（两个蓝色方块重叠的地方）拥有相同的面积。
我们的推理要求两个蓝色方块的面积必须等于红色方块（A）的面积。因此，两个蓝色方块没有覆盖的面积等于两个蓝色方块都覆盖的面积的两倍。换句话说，有两个相等的小正方形(红色，B)，它们的面积和较大的正方形(紫色，B)的面积相同。这意味着新的小正方形的每条边都等于整数n - m，紫色大正方形的每条边都等于整数n - 2(n - m) = 2m - n。
简而言之，边m的平方不是满足几何方程的最小值。结果是矛盾的，因此假设是错误的，因此根号2不是两个整数的商，这意味着它是一个无理数。用同样的方法，我们可以证明3的平方根是无理数。
两个巫师的谜语
20世纪60年代，康威设计了一个极其棘手的谜题，直到最近才引发了很多讨论，2013年，麻省理工学院的塔尼亚·霍瓦诺娃发表了一篇论文。以下是那篇论文中出现的谜题：
昨天晚上，我在一辆公共汽车上坐在两个巫师后面，听到了下面的话：
A：“我有正整数个数的孩子，他们的年龄是正整数，和是这辆车的车号，乘积是我自己的年龄。”
B：“如果您把您的年龄和孩子的数目告诉我，也许我就能算出他们每个人的年龄了。”
A：“不。”
B：“啊哈！我终于知道你多大了！”
公交车的车号是多少？
当然，你必须假定巫师B知道公交车的车号。还要注意，巫师们可以非常年轻，也可以非常年老，巫师A很可能是两万岁的老人。
下面是解题过程，我只能在程序的帮助下完全理解和验证。我不能重现所有的计算，但你可以相信我的话。
让我们把巫师A的年龄记为A，把公交车车牌记为b，把巫师A的孩子数记为c。例如，假设车号为b = 5。以下是孩子的数量、年龄分布和巫师A的年龄：
c=5，年龄分别为1,1,1,1,1；因此a=1；
c=4，年龄分别为1,1,1,2；因此a=2；
c=3，年龄分别为1,1,3；因此a=3；
c=3，年龄分别为1,2,2；因此a=4；
c=2，年龄分别为1,4；因此a=4；
c=2，年龄分别为2,3；因此a=6；
c=1，年龄分别为5；因此a=5；
在每种情况下，知道巫师A的年龄和孩子的数量表明后者可能的年龄。因为巫师A回答“不”，而巫师B知道车号，这意味着b不等于5。
类似地，你可以通过逐个验算可能的车号来解决这个问题，找出那些可以知道巫师的年龄和他的孩子的数量，但不能知道每个孩子的年龄的车号（这个车号的属性标记为P）。计算b = 1, 2, 3,…12（就像我们刚才对b = 5所做的那样），结果表明b = 12是拥有P的最小数。
事实上，对于b = 12和c = 4，这四个孩子有两组可能的年龄——(2,2,2,6)和(1,3,4,4)，这两组给出巫师的年龄都是相同的：A = 48。因此，对于b = 12，即使知道c = 4，a = 48，也无法推断出这四个孩子的年龄。这是否意味着b = 12是解？
不幸的是，并不一定。对于车号b = 13的情况，例如，这三个孩子的两组年龄——(1, 6, 6)和(2, 2, 9)，a=36，巫师B不能从巫师A的年龄或他的孩子的数量得出他的孩子的年龄。
知道b = 12并不比知道b = 13更能确定孩子的年龄。当面对这个谜题时，大多数人经常回答“b = 12”，好像这个谜题在某种程度上暗示了b的最小可能解是正确的。但谜题并没有做出这样的断言。此外，如果没有进一步的推理，你无法在b = 12和b = 13之间进行选择，也无法在b的其他值之间进行选择，正如我进一步的计算所显示的那样。
然而b = 12才是正确答案，其原因是这个谜题中最有趣和最意想不到的部分。康威精心设计了他的谜题，你必须考虑巫师B的最后陈述，在巫师A的“不”之后，巫师B回答说，“啊哈！我终于知道你多大了！”这样就排除了b = 13。
事实上，对于b = 13，有两个额外的年龄集——(1,2,2,2,6)和(1,1,3,4,4)，可以得出a = 48。换句话说，如果车号是13，巫师B不能从他的否定答案中推断出巫师A的年龄，因为他的年龄可以是36或48。因此，应该排除b = 13。
然而，当我们考虑b = 13的年龄序列并加上1时，消去b = 13就会排除b = 14。这样做表明，儿童的年龄集——(1,1,6,6)和(1,2,2,9)——的乘积是a = 36，而另两个年龄集——(1,1,2,2,6)和(1,1,1,3,4,4)——的乘积是a = 48。同样可以排除b = 15，并且一个接一个地排除了所有大于12的b。
因此，只有车号12 （b = 12）以及两个年龄集(2,2,2,6)和(1,3,4,4)唯一决定了巫师A的年龄：A = 48。
我承认我不明白康威是如何想出这个令人难以置信的谜题的！
科拉兹猜想（ Collatz conjecture）
考虑一个函数(f)，对于偶数的正整数(n)给出n/2，对于奇数的正整数(n)给出3n + 1。例如，从7开始，应用f，首先得到22，然后是11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1等等。一但得到1，就进入了循环。
无论你从哪个整数n开始，你似乎总是以1结束，然后陷入一个循环。计算机计算测试了这个特性，它适用于至少87 x 2^60（大约10^20）的所有n。然而，还没有证明这总是正确的，也没有发现一个初始的n可以持续到无穷，或者得到除4，2，1之外的循环。
这个问题被称为科拉兹猜想。数学家们做了大量的工作，其中一些已经编入了一本书。问题的陈述非常简单，吸引了许多业余数学爱好者，经常有人生成找到了答案，但到目前为止，要么是错误的，要么是不可理解的。
面对这样一个简单的挑战，康威无法抗拒。1972年，他发表了关于这一猜想的第一篇论文，在论文中，他提出了类似的公式化问题，并证明了它们的不可预测性。对于起始整数的某些值，由f的变体生成的序列最终不会到达1，但集合理论不能证明这一点。更一般地说，对于任何证明（S）的逻辑系统，都存在这个范畴的问题，对于一个不以1结束的序列有一个起点，它不能被S证明。
2013年，康威用概率论证再次提出了这个问题，他认为科拉兹猜想本身无法用数学中常用的公理系统来证明。这并不是科拉兹猜想不可定论的决定性证明。但他提出的各种论证似乎强烈地表明，每个人在试图证明这个猜想时出错并非偶然。
所有的数学家都会遇到他们无法解决的问题，康威也不例外。然而，作为一个逻辑学家，他能够证明不可决定性，并详细阐述论证，表明这个简单而棘手的问题将无限期地挑战数学家。
生命游戏
生命的游戏，首次在1970年的《科学美国人》的马丁·加德纳的数学游戏专栏中介绍，仍在研究中，而它带来的所有难题都还没有解决。在一个无限的二维矩形网格中，一个正方形的细胞可能是活的，也可能是死的，或者细胞从活的（黑色）变成死的（白色），反之亦然，代代相传。或者细胞可能保持稳定，这取决于它最近的8个相邻细胞是死的还是活的。如果相邻方格活着的细胞数量过多，这个细胞会因为资源匮乏而在下一个时刻死去；相反，如果周围活细胞过少,这个细胞会因太孤单而死去。
进化的规律是：当一个方格周围有2个或3个活细胞时，方格中的活细胞在下一个时刻继续存活；即使这个时刻方格中没有活细胞，在下一个时刻也会“诞生”活细胞。理想情况下，活细胞的数量与n^2成比例增加，其中n为一代的数量。网格稳定部分的最佳活细胞密度为1/2。1997年，哈佛大学的诺姆·埃尔金斯用29页的篇幅证明了这一点。
2020年4月，计算机科学家Mateusz Naściszewski发现了《生命游戏：终极版》顶部呈现的非凡模式。它是已知最小的模式，一旦启动，就会以二次速度增长，覆盖密度为1/2的稳定活细胞种群的网格。因此，这种模式在速度和密度方面是最好的。该构型从183个细胞开始。我们在不同的尺度上绘制了第0代和另外两代。人们认为不可能超过183，但这还没有得到证明。还要注意，有些模式可以计算素数，甚至可以显示π = 3.14159的十进制数字图形。