爱因斯坦引力方程的推导——从简单的论证中得到爱因斯坦方程
广义相对论对所有认真研究过它的人都有独特的吸引力。20世纪最具影响力的物理学家之一，英国理论物理学家保罗·狄拉克曾经说过：
牛顿引力理论及其力的瞬时传播与狭义相对论的要求很难调和，爱因斯坦在解决这个难题的过程中总结出了他的相对论——这可能是迄今为止最伟大的科学发现。——保罗·狄拉克
伟大的苏联物理学家列夫·兰道和叶夫根尼·李夫希茨在他们的书《场的经典理论》中写道：
建立在相对论基础上的引力场理论被称为广义相对论。它是由爱因斯坦建立的，代表了现存所有物理理论中最美丽的理论。
在这篇文章中，我将非常密切地关注钱德拉塞卡尔的这篇出色的文章(任何遗漏或不清楚的细节都可以在其中找到)，并试图澄清一些导致这些伟大科学家做出如此有力声明的原因。
等效原理
在牛顿力学中，质量有两个概念，即惯性质量和引力质量。前者是对施加的外力的抵抗力的度量（根据牛顿第二定律）。后者是引力场的来源，也是另一个大质量物体产生的场的反应。
图1：根据牛顿万有引力定律，说明两个物体相互吸引的示意图。彼此相距R的两个质量m和M以大小相互吸引，引力为：
根据牛顿第二定律，m(相当于M)的加速度为：
方程1：惯性质量与重力质量之间的等效关系是加速度不依赖于所研究物体这一事实的结果。由于加速度是不变的，因此质量比必须恒定。
a不依赖于m这一事实意味着上面的质量比是一个常数。由此可以推断出惯性质量和引力质量的大小相等。
时钟刻度之间的关系
考虑一下下面的例子：
图2：根据等效原理，时钟A和B根据时钟C保持相同的相对时间。
根据相对论的特殊原理，随着时钟向上移动，由A和B测量的间隔与时钟C中位于自由空间中的相应间隔具有以下关系：
将两个表达式结合得到：
我们使用托里塞利方程和引力势的定义：
现在，如果我们把时钟B带到一个没有引力场的位置x，上面的表达式就变成：
方程2：两个事件之间的时间间隔如何随着重力势U(x)变化。
广义相对论中的时空
在狭义相对论中，我们知道闵可夫斯基区间的形式是：
方程3：狭义相对论中的闵可夫斯基区间其中dτ是所谓的适当时间的量度。沿着物世界线的正确时间是由该行之后的时钟测量的时间。
图3：对于一个给定的事件，该图显示了闵可夫斯基时空(源)的四个不相交的细分。如图3所示，时空中的世界线可分为三种
在每个点上都有光速的类光曲线。这样的世界线在时空中形成一个光锥。类时曲线。这些速度小于光速的曲线落在光锥内(注意，大质量粒子的世界线总是类时的)。类空曲线，这些曲线表示例如对象的长度。
图4：世界线的许多类型,每个对应一个dτ的迹象。
适当的时间间隔dτ依赖于时空的性质。在时空区域，如式(2)成立，则可代入式(3)得到:
方程4：恒定引力场作用下闵可夫斯基时空区间的变化。现在考虑将坐标转换为均匀加速的框架。新的x和t变为：
方程5：到匀加速坐标系的坐标变换。y和z保持不变，在这个坐标中表示的闵可夫斯基区间为:
方程6：匀加速坐标系的闵可夫斯基区间现在，在变换方程5中选择小于或等于c/g的时间，并进行简单的展开，新的时空间隔方程3变成：
方程7：平闵可夫斯基式时空中的时空间隔，用非惯性坐标表示。注意，这与公式4的形式相同。因此，我们看到，转换到一个加速的框架等价于引入一个引力场，它证实了等价原理。
到目前为止，我们只考虑了与平坦闵科夫斯基度规的小偏差。根据爱因斯坦的理论，我们做出这样的假设：一般而言（不仅是很小的偏差），引力场的存在会扭曲时空的几何形状。更准确地说，爱因斯坦的引力理论假设在存在引力场的情况下，时空成为光滑的伪黎曼流形，其时空间隔的形式为：
方程8：准黎曼流形上的时空区间在闵可夫斯基时空中，粒子以匀速直线运动：
方程10：在闵可夫斯基时空中，粒子以匀速直线运动仍然在没有重力的情况下，让我们做如下转换，变成一个曲线坐标系:
方程11：在没有重力的情况下，转换成曲线坐标。时空间隔变成：
式12：转换后的时空间隔式11地点：
方程13
图5：在惯性参照系(顶部)中，黑球沿直线运动。然而，观察者(红点)，站在旋转参照系(底部)中，由于科里奥利和在这个参照系中存在的离心力(源)，看到它沿着一条弯曲的路径运动。运动方程10成为无处不在在的测地线方程：
方程14：运动方程10经过坐标变换后的方方程11，仍然是在没有重力的情况下对象在哪里？
方程15：测地线方程中出现的克里斯托费尔符号被称为克里斯托费尔符号
克里斯托费尔符号产生(在式14中)一个“表观”加速度，它仅仅是用曲线坐标在笛卡尔坐标中描述线性运动的结果。但是根据等价原理，所有的加速度，无论是从惯性力获得的加速度还是从重力产生的加速度，其起源都是公制的：重力扭曲了时空几何(类似黎曼流形，有相关的度规)，粒子在如式16所示的测地线中，在时空中移动。
方程16：粒子在时空中运动的测地线方程。
推导出爱因斯坦引力定律
在牛顿物理学中，描述引力场的方程是用引力势U表示的。当没有引力时，U=0。但受其场作用的测试粒子在物体外部时，有U = 0，在有问题的地区，该方程变为 U=4πGρ。
让我们看看如何把这三个方程推广到广义相对论中去。首先，考虑一个根据运动方程(16)运动的粒子。如果通过坐标的改变，可以将16式转化为10式，这意味着粒子不在重力场中。同样，对于目前的引力，克里斯托费尔符号在任何坐标变换后都不会消失。利用克里斯托费尔符号的变换定律，很容易表示出一般的坐标变换
方程17：应用于克里斯托费尔符号的变换。只有当等式成立时，克里斯托费尔符号才会消失吗
方程18：消失的条件对于方程 17中的四个变换fs有一个解。这是在所谓的黎曼-克里斯托费尔张量消失的情况下发生的。后者由：
方程19：黎曼曲率张量或黎曼-克里斯托费尔张量我们得出没有引力场的条件为:
方程20：失重状态。这个方程是与U=0牛顿方程相对的相对论性方程。这个方程是牛顿方程U=0的广义相对论版本。它可以显示最简单的概括U = 0是情商的收缩。20日,即：
方程21：里奇标量的消失的相对论对应U = 0牛顿方程。这个消失的物体叫做里奇张量。最后一步是确定的右边的泛化πgρU = 4。首先想到的是能量—动量张量。从狭义相对论中我们知道它的导数消失了。但是广义相对论是一种协变理论，所以标准导数的消失是不够的：我们需要T的协变导数消失。
它在所有坐标系中都成立。但是里奇张量的协变导数是非零的。通过引入一个相关的张量，也就是所谓的爱因斯坦张量，这个张量的协变导数消失了。
图7：在广义相对论中，质量之间的引力效应是时空扭曲的结果。
因此，爱因斯坦引力定律变成：
求c→∞的极限，得到常数k，恢复到牛顿方程。