大自然确实有一个最喜欢的数字，那就是“1”，神奇的本福德定律

数字，我们随处可见。例如，在本文开头的图像中，有许多数字，但研究表明，这些数字中以“1”开头的比例比预期的要高。这怎么可能呢？1881年，加拿大裔美国天文学家西蒙·纽科姆做了一个有趣的研究。他注意到一本以数字“1”开头的对数表的书页比其他书页磨损得更厉害。

1938年，美国电气工程师弗兰克·本福德在20多个不同的数据集上验证了纽科姆的观点，这些数据包括：335条河流的表面积、3259个美国人口、104个物理常数、1800个分子量、418个死亡率，甚至还有一期《读者文摘》中包含的308个数字。他在一篇题为《反常数定律》的论文中发表了他的发现。

本福德定律

本福德定律，也被称为纽库姆-本福德定律，描述数集中数的前导位数的频率分布。它指出，数字“1”以第一位出现的概率约为30%，数字“2”以第一位出现的概率为17.6%，数字“9”以第一位出现的概率小于5%。

• 数字频率分布

如果“1”和“9”之间的每一个数字作为一个数的第一个数字出现的概率相等，那么它们出现的概率都是11.1%。本福德定律仅适用于跨度多个数量级且非无量纲的数集。如果你还记得高中数学，数量级是一个数的对数，通常以10为底，它可以表示如下：

• 1 = 1 x 10^0
• 10 = 1×10^1
• 100 = 1×10^2
• 1000 = 1×10^3，等等。

那么，本福德定律适用于哪些数据集呢？它适用于街道地址、斐波那契数字、电费账单、股票价格、阶乘、房价、人口数量、死亡率、2的幂、河流长度，以及物理和数学常数。

斐波那契数是由两个从“0”开始的连续数相加形成的。

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
• 0 + 1 = 1,1 + 1 = 2,2 + 1 = 3,3 + 2 = 5,5 + 3 = 8

阶乘，写成n!为所有小于或等于n的正整数的乘积，例如，5 ！= 5×4×3×2×1 = 120。

物理常数包括：真空中的光速（c）、普朗克常数（h）、牛顿引力常数（G）和基本电荷（e）等。

• 物理常数符合本福德定律

在对数尺度上，一个数（1到9）为第一位数的概率与尺度上数之间的间隔成比例。数字“1”的对数和数字“2”的对数之间的间隔要比数字“8”的对数和数字“9”的对数之间的间隔宽得多。数字“1”和“2”，“10”和“20”，“100”和“200”，以及数字“8”和“9”，“80”和“90”，“800”和“900”，间隔也是一样的。

• 在对数刻度上的间隔

因此，任何随机数更可能落在较宽的区间而不是较窄的区间。值得注意的是，无论我们使用以10为底的对数尺度还是任何以大于2为底的尺度，这都是有效的。

以2为基数表示的数称为二进制数。它们总是以数字“1”开头，只包含“1”和“0”。你可能认识到这些是计算机使用的数字。

• 十进制数及其对应的二进制

符合本福德定律的数据集

虽然股票市场价格非常准确地符合本福德定律，但在一个数量级内的一组数字却不符合。例如，成年人的身高以“4”、“5”、“6”甚至可能是“7”为起始数字，而智商得分在70到130或更高，就不太可能符合本福德定律。

但是，如果我们看看世界上最高的58座建筑的高度，无论用什么单位来衡量，“1”绝对是最常见的领先数字。这意味着不管我们用米、码、英尺、英寸或厘米来测量结构的高度，“1”仍然是概率最大的。

当一个数据集是尺度不变的，即与数据所表示的单位无关时，第一个数字的分布总是符合本福德定律。

如果我们看看世界上人口最多的150个国家的人口，数字“1”又赢了。

使用本福德定律

1972年，经济学家哈尔·瓦里安，现任谷歌的首席经济学家，建议使用本福德定律来检测经济数据中的欺诈行为。据传，美国国税局使用本福德法来分析所得税申报表，甚至在联邦、州和地方各级的刑事案件中也承认了本福德法。

在2002年欧元问世后，本福德定律被应用于必须将各种货币转换成欧元的商品价格。新欧元价格的第一个数字符合本福德定律，而第二个和第三个数字则不符合，这就证实了将价格转换成新货币是有困难的。