高考真题分层目标训练卷（2018年全国Ⅲ卷理科第20题）

高考真题分层目标训练（2018年全国Ⅲ卷理科第20题）

1.  （2018全国Ⅲ理）已知斜率为

的直线

与椭圆

交于

，

两点．线段

的中点为

． （1）证明：

；（2）设

为

的右焦点，

为

上一点,且

．证明：

，

，

成等差数列，并求该数列的公差．

【解析】（1）设

，

，则

，

，两式相减，并由

得

. 由题设知，

，

，于是

.① 由题设得

，故

；（2）由题意得

，设

，则

， 由（1）及题设得

，

. 又点

在

上，所以

，从而

，

. 于是

. 同理

，所以

， 故

，即

成等差数列. 该数列的公差为

，则

.② 将

代入①得

. 所以

的方程为

，代入

的方程，并整理得

. 故

，

，代入②解得

. 所以该数列的公差为

或

.

2.  【变式训练1】已知椭圆

的离心率为

,以椭圆

的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为

. (1)求椭圆

的方程; (2)设椭圆的右焦点为

,过

的直线

与椭圆

交于

两点.(点

位于

轴上方),若

,且

.求

k的取值范围.

【解析】(1)由已知得

,解得

∴椭圆

的方程为

. (2)

点坐标为

,∴直线

方程为

。∵

且点

位于

轴上方.∴

. 由

,消去

可得,

设

,

,∴

,

∵

,∴

,∴

①,

② 由①②可得,

∵

,∴

,∴

, 解得

,∴

.

3.  【变式训练2】已知椭圆

的两个焦点分别为

,

,且经过点

. (1)求椭圆

的标准方程; (2)已知

为坐标原点,

为椭圆的右顶点,

,

为椭圆

上不同的两点,

,且直线

交

轴于点

,证明:

.

【解析】(1)设椭圆

的方程为

由已知可得

,解得

∴椭圆

的标准方程为

. (2)由(1)可得,

点坐标为

,设

,

,直线

方程为

, 则直线

方程为

,

由

,可得

则

,∴

,∴

,

可得

,∴

, ∴

,∴

.

4.  【变式训练3】已知椭圆的

的中心在坐标原点,焦点在

轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为

,最小值为

. (1)求椭圆

的方程; (2)已知点

,直线

与椭圆

交于

,

两点,设直线

,

的斜率分别为

,

,求证

为定值.

【解析】(1)设椭圆

的标准方程为

,焦距为

, 由已知可得

,解得

,则

.∴椭圆

的方程为

. (2)设

,

. 由

,消去

可得

. ∴

,解得

,此时有

,

∴

∴

为定值.