彭光焰——向量数量积不等式|a|∧2|b|∧2≥(a•b)∧2的解题探究
|a|2|b|2≥(a·b)2的解题探究
432700 湖北省广水市一中 彭光焰
《中学教研》（数学）2006年第11期发表了孙建斌同志的《一个分式不等式的解题探究》一文（以后，简称文[12]），该文利用了定理：
来解决了一些数学问题，其实这个定理是二阶Cauchy不等式一种推广形式.
向量是高中数学必修内容，向量又具有几何形式和代数方法的双重身份，因此向量在代数、三角、平面几何、立体几何和解析几何等方面有重要作用.
这一不等式与n阶Cauchy不等式是一致的，但它的解题功能强于n阶Cauchy不等式的解题功能.
下面就用文[12]中的例题来说明|a|2|b|2≥(a·b)2的解题功能.为便于比较，例题的顺序也不改变.
1 证明代数等式
（注：文[3]巧用“等叠法”证明；文[4]巧用Cauchy不等式证之）.
2 证明三角等式
经检验为原方程的解.
（注：该方程有些难度，然而解法颇多：巧用Cauchy不等式[4]、配方法[5]等.）
4 讨论含参数方程组
这里，两处等号不能同时成立，故不取“≥”，而取“>”.
（注：这一脍炙人口的赛题，证法颇多，如：巧用Cauchy不等式[4]、叠加法[7]等.）
8 证明一类无理不等式
（注：文[8]巧用构造几何模型证之；而用|a|2|b|2≥(a·b)2证明竟如此简洁，令人叫绝.）
9 证明三角不等式
（注：此处，巧用了0<cos(α-β)≤1,本题尚可用基本不等式证明[9]或用互叠法[7]证明之.）
10 求一次函数最值
12 求二次函数最值
的切线方程.由于过圆外一点作圆的切线有两条，还有一条切线方
程的斜率不存在，其方程是x-2=0.
（注：文[12]的解法有误，遗漏了一条切线方程x-2=0.）
15 求有关点的坐标
（注：注意此处考虑P、Q两点不同，故只取“>”.）
综上所述，只要我们认真审题，根据题目提供的信息，恰当地构造向量，便可巧用|a|2|b|2≥(a·b)2予以简洁、漂亮的解证.
参考文献
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2 沈红霞.一堂研究课的来龙去脉——对基本不等式的探究及应用[J].中学教研（数学），2006（6）：29-31.
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9 曾思江，刘中华.用基本不等式解题的思维过程浅析[J].湖南数学通讯，1996（2）.
10 朋安，姚先伟，直线学习中的“八项注意”[J]，中学生数学，2001（2）上.
11 孙建斌.“特征信息”的捕捉与解题的最优化[J].中学数学教学参考，2001（12）：29-30.
12．孙建斌.一个分式不等式的解题探究[J].中学教研（数学），2006（11）：17-21.