彭光焰——向量数量积不等式|a|∧2|b|∧2≥(a•b)∧2的解题探究

|a|2|b|2≥(a·b)2的解题探究

432700   湖北省广水市一中      彭光焰

《中学教研》(数学)2006年第11期发表了孙建斌同志的《一个分式不等式的解题探究》一文(以后,简称文[12]),该文利用了定理:

来解决了一些数学问题,其实这个定理是二阶Cauchy不等式一种推广形式.

向量是高中数学必修内容,向量又具有几何形式和代数方法的双重身份,因此向量在代数、三角、平面几何、立体几何和解析几何等方面有重要作用.

  这一不等式与n阶Cauchy不等式是一致的,但它的解题功能强于n阶Cauchy不等式的解题功能.

下面就用文[12]中的例题来说明|a|2|b|2(a·b)2的解题功能.为便于比较,例题的顺序也不改变.

1 证明代数等式

(注:文[3]巧用“等叠法”证明;文[4]巧用Cauchy不等式证之).

2  证明三角等式

经检验为原方程的解.

(注:该方程有些难度,然而解法颇多:巧用Cauchy不等式[4]、配方法[5]等.

讨论含参数方程组

这里,两处等号不能同时成立,故不取“”,而取“>”.

(注:这一脍炙人口的赛题,证法颇多,如:巧用Cauchy不等式[4]、叠加法[7]等.

证明一类无理不等式

(注:文[8]巧用构造几何模型证之;而用|a|2|b|2(a·b)2证明竟如此简洁,令人叫绝.

证明三角不等式

(注:此处,巧用了0<cos(α-β)≤1,本题尚可用基本不等式证明[9]或用互叠法[7]证明之.

10  求一次函数最值

12  求二次函数最值

的切线方程.由于过圆外一点作圆的切线有两条,还有一条切线方

程的斜率不存在,其方程是x-2=0.

(注:文[12]的解法有误,遗漏了一条切线方程x-2=0.

15  求有关点的坐标

(注:注意此处考虑P、Q两点不同,故只取“>”.

综上所述,只要我们认真审题,根据题目提供的信息,恰当地构造向量,便可巧用|a|2|b|2(a·b)2予以简洁、漂亮的解证.

参考文献

孙建斌. 一类二元函数最值问题的一种解题策略[J].中学教研(数学),2004(11):21-24.

沈红霞.一堂研究课的来龙去脉——对基本不等式的探究及应用[J].中学教研(数学),2006(6):29-31.

孙建斌.巧用“等叠法”解题[J].中学教研(数学),2005(9):38-40.

孙建斌.柯西不等式的解题魅力[J].中学生数学,2006(5)上:30-31.

黄量生.孙建斌.巧用配方法解三角题[J].中学数学月刊,2004(9):24-25.

李铁烽.丢番图恒等式在解题中的应用[J].中学数学月刊,2002(7):47-49.

孙建斌.与时俱进,大胆创新——“互叠法”证明不等式的发现与解题联想[J].数学通报,2006(5):46—48.

李生有.构造解析几何模型证明不等式[J].中学生数学,2001(2)上.

曾思江,刘中华.用基本不等式解题的思维过程浅析[J].湖南数学通讯,1996(2).

10  朋安,姚先伟,直线学习中的“八项注意”[J],中学生数学,2001(2)上.

11  孙建斌.“特征信息”的捕捉与解题的最优化[J].中学数学教学参考,2001(12):29-30.

12.孙建斌.一个分式不等式的解题探究[J].中学教研(数学),2006(11):17-21.

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