第8招：神龙摆尾-移项构造函数证明不等式

第8招：神龙摆尾 - 移项构造函数证明不等式

在证明不等式时,经常需要用到函数的单调性或函数的最值来转化,如何构造恰当的函数是一个棘手的问题。移项构造函数即将不等式一边的式子移到另一边,是我们的常见手段,这是一种简单明了的方法,既适用于不含参的不等式证明,也适用于含参但参变分离比较复杂的问题求解。

例如:要证明

,可令

,则证明

即可。这种方法我们称之为移项法。

1.适用题型

常用于不含参的不等式证明,或者参变分离比较复杂的恒成立问题;

2.基本思想

通过移项将不等式的一边归零,构造函数

,如果

是函数

在区间上的最大(小)值,则

(

),只需判断

的正负得证。

3.基本步骤

①直接移项构造函数如:

,可令

;或者在有些情况下,直接移项构造函数可能还是比较复杂,可进行化简变形之后,再进行移项构造。

②构造函数

之后,通常对函数

进行求导,根据导数的正负分析函数单调性,再由单调性求函数的最值,判断最值的符号即可。

(2019北京卷)已知函数

.

(1)求曲线

的斜率为

的切线方程;

(2)当

时,证明:

;

(3)设

,记

在区间

上的最大值为

,当

最小时,求

的值.

【答案】见解析

【解析】

(1)由

得

.

令

即

,得

或

。

又

,

,

所以曲线

的斜率为

的切线方程是

与

,

即

与

.

(2)令

.(移项构造函数)

由

得

.

令

得

或

.

的情况如下:

所以

的最小值为

,最大值为

.

故

,即

.

(3)由(2)知,

当

时,

;

当

时,

;

当

时,

.

综上,当

最小时,

.

1. (2020届郑州高三明显联考调研考试理)

已知函数

,

.

(1)讨论函数

的单调性;

(2)当

时,证明:

.

2.(2021届江西部分学校高三联合考试理)

已知函数

,若

时,

恒成立,求

的取值范围.

3.(安徽六校教育研究院2021届高三模拟试题理)已知函数

.

(1)求函数

的最值;

(2)设函数

,证明:当

时,函数

的图像总在函数

的图像的下方.