八上18讲 会3题，通一片 —— 一次函数图像之行程专题
写
在
前
面
20
18
众所周知，一次函数图像中，较难的题还是行程问题．其中常见的有相遇，追及问题，涉及出发时间先后的不同，途中休息的情况．而最难的则是两人之间距离随时间的变化问题，本讲拟以3道中考真题为例，让你会3题，通一片．
例1：基础篇
例1：
(2011· 南通)
甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/h
C．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h
笔者追问：甲出发几小时后，两人相距2km?
分析：
本题是一个常规的追及问题，两人出发有先后．当然，从图像中，我们必须明白的第一个重要知识点：运动问题中，若涉及的是出发时间与行驶路程的函数关系，通常直线的倾斜程度表示的是速度．
甲全程用4小时，速度可求．
乙全程用1小时，速度也可求．
至于甲比乙早出发，晚到的时间，都可在图像上看出．
追加的问题：
两人相距2km，在图像上，应该理解为，相同时刻，即横坐标相同时，对应的行驶路程之差，即纵坐标之差为2，显然分3种情况：
(1)乙未出发
(2)乙出发未追上甲
(3)乙出发后超过甲
解答：
v甲＝20÷4＝5km/h，A错
v乙＝20÷(2－1)＝20km/h，B错
乙比甲晚出发1h，C对，甲比乙晚到B地2h，D错
追问：如图，分别求出y甲，y乙的解析式
设y甲＝k1x，把(4，20)代入得
y甲＝5x
设y乙＝k2x＋b，把(1，0)(2，20)代入得
y乙＝20x－20
(1) 乙未出发，
5x＝2，x＝0.4
(2) 乙出发未追上甲，
5x－(20x－20)＝2，x＝1.2
(3)乙出发后超过甲，
(20x－20)－5x＝2，x＝1.4
答：甲出发0.4，1.2，1.4小时后，两人相距2km．
配套练习：
小明骑自行车由甲地前往乙地，速度为10km/h，小强在小明出发3h后，骑摩托车沿相同的路线从甲地前往乙地，速度为40km/h，已知两地间的路程是80km，请你分别列出两人所行使的路程与所用的时间之间的函数表达式，并回答下列的问题：
（1）若小明出发的时间为xh，距离甲地的路程为ykm，画出y与x之间的函数图像．
（2）小强何时可以追上小明？
（3）小强出发几小时后，两人相距20km?
解答：
(1) y小强＝40x－120(3≤x≤5)
y小明＝10x(0≤x≤8)
(2) 40x－120＝10x，
x＝4，
4－3＝1，
小强出发一小时后追上．
例2：常规篇
例2：
(2015·乌鲁木齐)
一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y1(km)，小轿车的路程y2(km)与时间x(h)的对应关系如图所示．
(1)甲、乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？
(2)①写出y1与x的函数关系式；
②当x≥5时，求y2与x的函数关系式；
(3)货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？
分析：
(1)不难，根据纵坐标的最大值，可知甲乙两地的距离．根据函数值不变化时，横坐标的范围，可知停留时间．
(2)y1与x是正比例函数关系，代入一个点的坐标即可．y2稍难，表面看，只知道一个点的坐标(6.5，420)，但横坐标为5.75时，两函数图像相交，求出货车此时的路程，即是小轿车的路程，从而两点确定，用待定系数法可求．
(3)由图像可知，首次相遇时，小轿车停着，关键是求出小轿车行驶了多少路程后停止，并代入到y1中，可求相遇时的时间．
解答：
(1)由题图可知，甲、乙两地相距420 km，小轿车中途停留了2 h.
(2)①y1＝60x(0≤x≤7)；
②当x＝5.75时，y1＝60×5.75＝345，
当x≥5时，设y2＝kx＋b
把(5.75，345)，(6.5，420)代入
解得y2＝100x－230
∴当x≥5时，y2＝100x－230
(3)当x＝5时，y2＝100×5－230＝270，
即小轿车在3≤x≤5时停车休整，离甲地270 km.
60x＝270，x＝4.5
答：货车出发4.5 h首次与小轿车相遇，相遇时距离甲地270 km.
配套练习：
甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480km的目的地，乙车比甲车晚出发2h（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y(km)与时间x(h)之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲车出发不足2h因故障停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决以下问题：
（1）求乙车所行路程y与时间x之间的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇．（写出解题过程）
分析：
（1）（2）不难，只分析（3），易知交点P表示第一次相遇，即甲车故障停车检修时相遇，点P的横坐标表示时间，纵坐标表示离出发地的距离，要求时间，则需要把点P的纵坐标先求出；而点P的纵坐标与点B的纵坐标相等，点B又在线段BC上，求出BC对应的函数关系式，问题迎刃而解．
解答：
(1)设乙车所行路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x＋b1，
把(2，0)和(10，480)代入，解得y＝60x－120
(2)当x＝6时，y＝60×6－120＝240，
∴F点坐标为(6，240)，
∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米；
(3)设线段BC对应的函数关系式为y＝k2x＋b2，
把(6，240)、(8，480)代入，
解得y＝120x－480
当x＝4.5时，y＝120×4.5－480＝60．
∴点B的纵坐标为60，交点P的纵坐标也为60，
把y＝60代入y＝60x－120中，
解得x＝3，
∴交点P的坐标为(3，60)，
3－2＝1
答：乙车出发1小时，两车在途中第一次相遇．
例3：提高篇
例3：
(2013· 淮安)
甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟．y1、y2与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2．
（1）求小亮从乙地到甲地过程中y2(米)与x(分钟)之间的函数关系式；
（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s(米)与x(分钟)之间的函数关系式；
（3）在图2中，补全整个过程中s(米)与x(分钟)之间的函数图象，并确定a的值．
分析：
本题基本属于运动问题的终极版了，难度已经很大，如果你能搞定，所有的一次函数运动问题都不在话下．
首先我们根据y与x的函数图像，分析出，端点是原点的射线是小明步行的函数图像，剩下的是小亮的函数图像．
由图像可知，甲乙两地相距2000m，小明步行40分钟，从甲地到乙地，可知小明的速度是50m/分，小亮骑车10分钟，从乙地到甲地，可知小亮骑车速度为400m/分．
(1) 即求下图中，最左侧虚线部分的函数解析式．
10至24分钟时，小亮休息，之后原速追及小明，可知下图中点线部分的解析式的k，求出小明步行的函数解析式，联立方程组，可求小亮追上小明的时间．由于此时两人都是从甲地往乙地，则两人之间的距离s，可看作此时两人距离甲地的路程之差！
(2) 即求下图中，过原点的直线解析式与下方点线部分的函数解析式之差！需要注意自变量取值范围，到小亮追上小明的时间截止．
(3) 图2中的a，表示两人第一次相遇的时间，那么，只需求出图1中，虚线与过原点的直线的交点的横坐标即可．而之后补充函数图像，我们要抓几个关键点，10至24分钟，小亮停在甲地，则此时的图像应与图1中，10至24分钟的图像一样，求出24分钟时点的坐标是第一个关键点，32分钟时，小亮又追上小明，则(32，0)是第二个关键点，之后两人一起步行，距离为0．32至40分钟时，函数值始终为0．
解答：
（1）设小亮从乙地到甲地过程中，
y2与x之间的函数关系式为y2＝k2x＋b1，
把(0，2000)，(10，0)代入得，
y2＝－200x＋2000
（2）小亮的速度为：2000÷10＝200米/分，
设小亮从甲地出发追及小明时，
点线部分解析式为y2＝200x＋b2
把(24，0)代入得，y2＝200x－4800
设小明从甲地到乙地的过程中，
y1与x的函数关系式为y1＝k1x
把(40，2000)代入得
y1＝50x
200x－4800＝50x，x＝32
s＝50x－(200x－4800)＝－150x＋4800(24≤x≤32)
（3）－200x＋2000＝50x，x＝8，即a＝8
配套练习：
某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地，下图是甲、乙两车间的距离y（千米）与乙车出发x（时）的函数的部分图像．
(1)A、B两地的距离是______千米，甲车出发_____小时到达C地；
(2)求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，y与x的函数关系式及x的取值范围，并在图中补全函数图像；
(3)乙车出发多长时间，两车相距150千米？
解答：
本题，以线段图的形式，帮助大家分析整个过程．
(1) 由图象可知，A、B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；
(2) 由图象可知，v乙＝30÷(2－1.5)＝60km/h，(v甲＋v乙)×1.5＝300－30，
解得v甲＝120 km/h，
易知图像中C(2，0)，D(2.5，0)，E(3.5，210)，F(5，300)
∴yCD＝60x－120(2≤x≤2.5)
yDE＝180x－420(2.5＜x≤3.5)
yEF＝60x(3.5＜x≤5)
小结：
应该说，这六道题已经将行程问题的基本情况都归纳在内．
知道以下几点，是解题的关键：
1、只涉及一人(车)行驶的图像，倾斜程度多为速度．
2、若两人(车)的两个图像在同一张图中，则交点处表示相遇(追上)，将两函数解析式联立方程组可求相遇的时间．
若要求两人何时相距多少，则两解析式之差的绝对值即为多少．
3、对于以两人(车)之间的距离为纵坐标的题目，则需要注意，纵坐标为0处，表示相遇(追上)．
都在行驶时，倾斜程度可能是两人(车)的速度和或差，若只一人(车)在行驶，则倾斜程度可能是一人(车)的速度．
若要求两人(车)之间的距离为多少时的时间，则只要让解析式的值为这个距离即可求出．
因接下来是期末复习，故本讲不再设置思考题．
附：第17讲思考题答案
解：由题意得
A(－2，0)，B(0，2)
C(1，0)， D(0，－4)
P(2，4)
过C作CE∥y轴交BP于E
E(1，3)
END
如
何
关
注