4个让人匪夷所思的数学真理——关于数学、真理和极限
大多数在数学上正确的科学是反直觉的。
事实上，在数学中，我们经常会遇到这样的情况，即我们会推导出我们不完全理解的东西。
欧拉恒等式这就是众所周知的欧拉恒等式。如果你问任何一个稍微熟悉数学研究的人，他们都会认出它。对我来说，数学最有趣的地方在于发现我们并不完全理解的东西。
超越数就是其中之一。我们发现它经常出现在我们经常使用的地方。要么是半衰期，要么是计算房屋利率，要么是计算圆周长与直径之比。
有了0和1，以及- 1的平方根的定义，加上唯一性的一般公理，我们就可以构建整个数字系统。
我们所有的知识都在这个等式中。但我们不知道为什么。这有点像万有引力，因为牛顿知道有一个力作用在从树上掉下来的苹果上。但是，直到今天，我们仍然对它到底是什么有争议。
斯坦福大学教授基思·德夫林谈到欧拉恒等式：
就像莎士比亚的十四行诗抓住了爱的本质，或者一幅画展现了人类形态的美，而不仅仅是肤浅的，欧拉方程深入到存在的最深处。
哲学家、数学家、哈佛大学教授本杰明·皮尔斯也说过：
这“绝对是自相矛盾的，我们不能理解它，我们不知道它意味着什么，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是真理。
这就是欧拉恒等式的核心。事实上，它是很多数学的核心。但是即使抛弃了整个逻辑思维和精确性，它也没有达到真正的真实含义。
我们知道，他们以我们所知的高度精确的程度来解释现实。他们模拟了我们遇到的几乎所有东西。它们改善了社会绝大多数人的生活，而社会却不承认它。
它们是世界上看不见的真理。你不需要了解他们就能从他们给我们的东西中受益。
但是，如果有人问我，“为什么？”是欧拉恒等式，我不能告诉你。
这就是有趣的地方。你有一个如此强大的方程，将数学中如此多的元素联系在一起——而且如此优雅——但我们并没有真正理解它。
还记得我们在欧拉恒等式中看到的e吗？它与很多事物都有联系，但让我们先从它的发现开始，然后再进入它的奇怪之处。
1683年，Jacob Bernoulli问了一个关于复利的问题：
一个账户从1美元开始，每年支付100%的利息。如果利息在年底贷记一次，那么年底时账户的价值为2美元。如果利息在一年内多次贷记会发生什么？
也就是说，如果你用最初的1美元，将利息(100%)分成你想要它支付的次数，会发生什么？
如果你想做两次，那么每6个月会产生50%的利息。也就是说，你将得到：
按100%利率计算一美元本金的复利公式。n是初始1元复利的次数。换句话说，你将把100%的利息分成你想要的次数。
例如，在我们最初的情况下，每6个月，你会有：
对于伯努利来说，有趣的事情很快就变成了如何对较大的n值进行求解：
对于n = 12，得到2.613035美元。对于n = 52，得到2.692597美元。对于n = 365，得到2.714567美元。然后，对于n无穷大，将得到：
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……
无穷大与数学之间有一种奇怪的关系。一方面，它使人类有能力更深入地观察世界的内部运作。另一方面，它回避了一个问题:“为什么?”。
另一个超越数同样通过无限的使用而出现：
其中C是周长，d是直径。
但是我们是怎么想到这个的呢？为什么形状是圆？圆到底是什么？
从一个正方形开始，不断地增加边数。直到无穷多，当边数为无穷大时，π的值为：
3.14159……
所以，当你看一个圆的时候，你实际上是在看一个有无数条边的多边形。
如果我们对欧拉数好奇，我们会看到更多令人挠头的东西。
也就是说,
e^x的导数和积分我们以伯努利的复合例子为例，把它推广到求幂。也就是说，我们把e看作是一个超越常数，它是指数函数的基础。即使作为一个函数，它在神秘的存在中也有一种奇妙的力量。指数函数的定义几乎是每个人都遇到过的。
我们后面会学到，如果对它求导，会得到：
更重要的是，指数函数的加速能力。从指数函数中可以看出它们增长的有多快。速度和加速度是指数运算的核心。
当我们求下面的导数：
我们要求出常数b使得ln(b) = 1。我们的动机是找出常数，使增长率是原来的函数。这意味着，通过可验证的递归，增长率的速率也将是原来的函数。
这意味着原函数的导数的任何n次迭代或n次导数的n次迭代也将是原函数。再一次，我们回顾了无限的概念。
常数e，是唯一的比例常数为1的基，使得指数函数的导数以e为底等于它本身。
与其他指数函数不同的是，它在各个领域都有许多派生，有着同样令人困惑的解释和含义。
为了看得更清楚：
e^x：相同的结果，不同的方法
这里
我们的极限包含了伯努利方程和复利方程的初始问题(对于特殊情况，x = 1，结果是e)
毫无疑问，这些特殊的无理数e和π深刻理解了世界的本质以及其中的物质和物体的行为。无论是在分布，声波，原子和亚原子行为，赌博，生物，化学，物理。这一切都来自一个最初想要回答一个简单的复合问题的人:
关于复利的简单图表，1000美元本金开始。
但在寻求某种封闭和某种趋同的过程中，我们似乎仍存在分歧。每解决一个问题，就会出现更多的问题。超验论也是这样产生的。
出现，但不一定能解释“为什么”。这些数字e和π是通过好奇心和人类意志力发现的。我要说的是，今天我们对这些数字的了解与以往一样多。
事实上，我们把这些都计算到十几万亿位。
e的近似值，维基百科
发现的历史和试图理解它的存在一样令人困惑。
对于上面的e，泰勒级数是：
e^x的泰勒级数对于一般情况，e的1次方：
我们知道这个级数是收敛的，我们知道这个级数收敛于我们的超越常数e。
我们知道的另一个类似的级数是调和级数：
调和级数
有趣的是，你会说这个东西会收敛。
前一百万项的和大约是14.8。
但是如果我们假设调和级数收敛，那么我们可以这样假设
但是
因此
这是不可能的。因此，我们知道级数是发散的。
然而在1914年，A.J.肯普纳发表了一篇名为《一个奇怪的收敛级数》的论文，证明了调和级数
稍微修改一下，实际上是收敛的。也就是去掉分母中含有“9”的值的调和级数。
起初，肯普纳认为这个级数的上限应该在80以下。从那时起，进一步的细化显示这个级数收敛到略低于23的值，大约是22.92067。这是非常奇怪的，从发散的级数中删除一些元素，最终将使级数收敛。
但是，大多数三位数的分母值都包含“9”，这使得级数收敛的速度几乎不够快。
但这显然回避了一个问题：你能从调和级数中删除的最小元素数量是多少才能使它收敛？
如果你用计算器，开始加1 + 2 + 3 + 4 + 5，一直加下去，不停止，你会认为你会得到一个非常大的正数。
让我告诉你一些完全违背直觉的事情：
也就是说，如果你把自然数相加，1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…你会得到：
首先，我们需要一些工具
我们从第三个和开始，N_2。如果我们将此和停止在偶数点，则从对称性上我们知道该和为0。如果在奇数点停止计算，结果是1。我们先取平均值，而不考虑它的数学原理。总和是1/2！
现在我们看一下N_1。具体来说，我们把总和乘以2。
如你所见，我们得到：
你知道吗，原来的和，N，在括号里！
N - N_1 = 4(N)。
所以N_1 = 1/4。
所以我们要做的就是从一边减去N，现在我们有：
-1/4 = 3N。N=-1/12
这个结果的唯一补充就是无穷级数实际上是发散的。同时，我的最终结果依赖于其他级数的部分和。
如果你想知道结果的实用性，你可以阅读我以前的文章：《太神奇了！所有自然数之和等于-1/12！我证明给你看！》、《理解最伟大的数学猜想——黎曼猜想》。
但是，如果你问我“为什么?”，我还是不能告诉你。