沈阳市2021年初中学业水平模拟考试第16题解析—“神秘的1:2:√(5)”

在做中学在学中做

没有什么能够阻挡，我对数学的向往，一望无际的题海，我志在扬帆破浪，攻占难题的夜晚，也曾感到迷茫，哪有什么高手，不过是手熟罢了。[每篇文章都在凌晨写完，365个日日夜夜，每天做点数学题，生活更加有味道... ...]

【原题再现】

【准备工作1】将已知条件拆分：

首先，连接DE，由AD∥BE，且AD=BE，可得：四边形ABED是平行四边形，所以，AB=DE=3√(2)，∠BAE=∠AED（内错角），∠B=∠CED=45°（同位角）；

其次，过点A作AF⊥DE，那么，△ADF是等腰直角三角形，且AD=2，所以，可求∠AEF的正切值为1/2；

【准备工作2】解读抽象性条件：

首先，由点M在射线DC上，可猜想本题有两种情况，可能在线段CD上或线段CD外（即射线上），其次，由夹角为45°，可联想等腰直角三角形，及辅助圆；而上述数据可得∠AEF的正切值为1/2，需在直角三角形中应用。

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第一种情况：当点M在线段CD上时，

过点B作BG⊥AE，垂足为点G，以点G为圆心，BG长为半径作圆，该圆与直线AE的交点为点P，射线BP与射线DC的交点即为点M，

如图，由三角形外角性质可得，∠1=∠2，亦可由△ABE和△BPE相似可证得；那么，正切值相等，在Rt△CBM中，CM/CB=1/2；

第二种情况：当点M在线段CD外，射线上时，

由∠ABC=∠PBG=45°可知：∠ABP=∠CBG，所以，∠ABG的正切值为2；

综上所述：DM的长为（1/2）或13。