在类比和转化中掌握分式和分式方程

　　与一元一次方程一样，分式和分式方程也是分析和解决问题的一种重要模型，它与分数、分解因式、一元一次方程等有着密切的联系．深刻理解．牢固掌握分式与分式方程，一方面可以加强已学知识之间的纵向联系．优化数学认知结构；另一方面，可以进一步发展代数恒等变形技巧，增强符号意识，培养合情推理能力．

　　一、如何更好地理解分式的性质及运算？一个重要策略是类比分数的性质和运算

　　分式可以看做是分数的“代数化”．我们知道，字母可以表示任何数，因此，分式其实只是分数的进一步抽象，其性质和运算与分数完全类似．例如分式加减法的法则是“同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式加减法法则进行计算”，这和分数加减法的法则完全相同，只是将其中的“数”换成了“式”．这也正体现了分式“代数化”的一面．所以，在学习中，我们可以类比分数来理解和掌握分式的基本性质以及分式的四则运算．

　　二、如何掌握解分式方程的一般规律？一个有效策略是应用“化归”思想

　　解分式方程的关键是将分式方程转化成已经学过的一元一次方程或其他类型的方程．利用分式的基本性质和等式的基本性质就可以实现这一“转化”．其实，这也是“化归”思想的具体体现．在这里，需要注意的是根的检验．事实上，对于分式方程来说，分式中分母的值不能为0，因而，分式方程的根必须是不使分母为0的值．但是，当把分式方程转化为整式方程后，这一限制就在无形中被取消了，如此一来．转化后的整式方程的根就很有可能使原方程中的分母为0，此即增根现象．因此，解分式方程时验根是必要的步骤．

　　三、如何列分式方程解应用题？一个重要方法是类比整式方程的建模过程．

　　建立分式方程模型，可以类比建立一元一次方程模型的过程．建立分式方程模型其实是将实际问题概括、抽象、转化为数学问题的过程．在以后的学习中，我们会经常用到这种思想．

　　例1、为了营造出“城在林中、道在绿中、房在园中、人在景中”的城市新景象，某市园林局计划在一定时间内完成l 00万亩土地的绿化任务．现为配合该市东部城区大开发的需要，市政府在调研后将原定计划调整为：绿化面积在原计划的基础上增加20％，并且完成任务的时间不变．园林局经测算得知，要完成新的计划．平均每年的绿化面积必须比原计划平均每年的绿化面积多5万亩．求原计划平均每年的绿化面积．

　　分析：本题所包含的等量关系有：新计划的绿化丽积=原计划的绿化面积×(1+20％)，新计划完成任务的时间=原计划完成任务的时间，原计划平均每年的绿化面积+5万亩=新计划平均每年的绿化面积．

　　设原计划平均每年的绿化面积为x万亩．则

．

　　解：略．

　　例2  “丽园”公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲工厂单独加工完这批产品所用时间是乙工厂单独加工完这批产品所用时间的倍，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品．该公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天l 20元．

　　 (1)求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．

　　 (2)公司制定新产品加工方案如下：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合做完成；在加工过程中，公司需派一名工程师每天到工厂进行短暂的技术指导，并负担他每天5元的午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．

　　解：(1)设甲工厂每天能加工z件新产品，则乙工厂每天能加工(x+8)件新产品，根据题意得

．解得x=16．经检验x=16是所列方程的根．x+8=16+8=24(件)．

　　所以，甲、乙两个工厂每天分别能加工l 6件和24件新产品．

　　 (2)若由甲工厂单独完成，则所需时间是：960÷l6=60(天)；所花费用是：80×60+5×60=5 100(元)．

　　若由乙工厂单独完成，则所需时间是：960÷24=40(天)；所花费用是：l20×40+5×40=5 000(元)．

　　若由甲、乙两个工厂合做完成，则所需时间是：960÷(16+24)=24(天)；所花费用是：(80+l20)×24+5×24=4920(元)．

　　通过计算可知，选择甲、乙两个工厂合做的方案加工这批新产品比较合适，既省时又省钱．