一道切线法放缩的经典例子

近日江苏群里火药味甚浓，起因是王扬老师发表了这样一篇文章：2005年摩尔多瓦不等式的证明

文中提到了这样一种放缩方法:

题目 设 求证:

由条件知 ,

结合熟知的不等式 以及二元均值不等式知

同理还有两个, 三个式子相加得

于是只要证明 又

这是显然成立的, 即 同理还有两个, 三个式子相加，并利用条件便得结论.

文中, 王老师表示 这个不等式从天而降，学生普遍感到捉摸不透.

其实这个不等式的由来非常简单, 就是大名鼎鼎的切线法.
因为这里 是已知的,而我们需要处理,所以自然而然的考虑用局部放缩的手法将放缩成的形式.

那么这里的系数如何确定的? 当然是切线法来确定!
设, 则,
求得.
于是在处的切线为,即
于是我们只需要证明时,,展开配方即可.

这样我们就讲清楚了这个不等式的由来. 其实切线法是一个非常常用的放缩方法, 15年前摩尔多瓦人就已经掌握了这个技巧. 有的时候还可以拓展为割线放缩,以及泰勒公式放缩, 这里就不详细展开了.
我想说的是，很多事情都不是毫无根据的.

这个世界变化是很快的. 多学习,多交流,才能跟上时代的浪潮, 切勿固步自封.