《測圓海鏡》“圓城圖式” 之十五勾股說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於1248年，其書之“圓城圖式”為一勾股含一內切圓，再加上縱橫兩直徑、圓外接正方形，此等線與大勾股形相交於定點，從此等定點作平行或垂直大勾股形之勾股，即可得十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。關鍵詞：勾股、李冶、測圓海鏡、圓城圖式《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於1248年，時為南宋淳祐八年。李冶（1192年－1279年，即南宋紹熙三年至元忽必烈至元十六年），字仁卿，號敬齋，諡號文正，欒城（今河北省欒城縣）人，金、元文學家、數學家。金末登進士，入元官翰林學士。《測圓海鏡》乃為其主要之著作。《測圓海鏡》全書共十二卷，設問一百七十則，主要研究勾股容圓，並以“天元術”解題。又根據李冶《測圓海鏡‧原序》可知，其“勾股容圓”術得力於“洞淵九容”之說甚多。注意“勾股”即“句股”。李冶起初研究圓率、弓形、截弧、截矢、截背等，但無突出之成就，得“洞淵九容”之說後，遂竭其力而盡其秘奧，即李冶所謂“使爆然落去而無遺餘”﹝見以下之引文﹞。因有客問其“洞淵九容”之術，李冶遂增衍其術至一百七十問。《測圓海鏡‧原序》曰：如古率、徽率、密率之不同截弧、截矢、截背之互見，內外諸角，析剖支條，莫不各自名家與世作法，及反覆研究，卒無以當吾心焉。老大以來，得“洞淵九容”之說，日夕玩繹，而向之病[1]我者，使爆然落[2]去而無遺餘。山中多暇，客有從余求其說者，於是乎又為衍之，遂累一百七十問。書成後，“測圓海鏡”之名似乎由其客所提議者也。《原序》又曰：既成編，客復目之“測圓海鏡”，蓋取夫“天臨海鏡”之義也。南北朝‧顏延之有四言詩名《應詔燕曲水作詩‧八章之二》曰：﹝《宋略》[3]曰：文帝元嘉十一[4]年三月丙申。禊飲于樂游苑。且祖道江夏王義恭、衡陽王義季。有詔會者賦詩。﹞祚融世哲，業光列聖。太上正位，天臨海鏡。制以化裁，樹之形性。惠浸萌生，信及翔泳。“天臨”指君臨天下，“海鏡”指明亮如鏡之海面，含天下大治義，故“天臨海鏡”有明君臨天下，四海昇平之義。《測圓海鏡》卷一為“圓城圖式”，此圖為一勾股形，習慣上，兩直角邊為勾為股，以橫為勾，以縱為股，又習慣上，股長於勾，如“圓城圖式”所示，最大之勾股形為“天地乾”﹝如下圖所示﹞，加上內切圓後，再加上縱橫兩直徑、圓外接正方形，此等線與大勾股形相交於定點，從此等定點作平行或垂直大勾股形之勾或股，即可得十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。諸勾股形之形成如下：先加上內切圓及加上縱橫兩直徑，兩直徑交圓周於四方，左曰東、上曰南、右曰西、下曰北，中央曰心。北南線向上延長交大勾股形之弦於“日”，西東線向左延長交於“川”。內切圓之上方及左方加兩條切線分別為“巽坤”及“巽艮”。乾坤巽艮成一正方形。此四卦是為周易之四隅卦，坤處於西南、巽處於東南、艮處於東北、乾處於西北。“巽坤”交大勾股形之弦於“月”，“巽艮”交大勾股形之弦於“山”。以下為朱熹《周易本義》之後天八卦圖，注意長方形四隅卦之位置：

又過月之垂直線交東西橫線於青，交地乾於泉。過山之橫線交南北垂線於朱，交天乾於金，而山金與月泉相交於泛﹝一作“水”﹞[5]。最後過日之橫線交天乾於旦，過川之垂直線交地乾於夕，總共22點。另外，若以日為旦，則以月為夕較妥，故夕、泉兩點易位較佳。“泛”以“水”為佳，蓋“水”可配合左方之山。東方五行表木，木，樹木也，表青綠色；西方五行表金，東西五行配合。朱點用黃較妥，朱點近中心，中心黃色，故用黃字為佳。若用朱，則視之為南，南方五行屬火，朱色也。以下為圓城圖式：

“月泉”交內切圓於縱兩點，“山金”亦交內切圓於橫兩點，但此四點不能形成相似之勾股形，故不予命名。以下為圓城圖式二十二點圖及圓城圖式十五句股形圖：

以下為《測圓海鏡》之勾股形，稱為“總率名號”：總率名號1.         天之地為通弦　　天之乾為通股   乾之地為通勾2.         天之川為邊弦　　天之西為邊股   西之川為邊勾3.         日之地為底弦　　日之北為底股   北之地為底勾4.         天之山為黃廣弦　天之金為股     金之山為勾5.         月之地為黃長弦　月之泉為股     泉之地為勾6.         天之日為上髙弦　天之旦為股     旦之日為勾7.         日之山為下髙弦　日之朱為股     朱之山為勾8.         月之川為上平弦　月之青為股     青之川為勾9.         川之地為下平弦　川之夕為股     夕之地為勾10.         天之月為大差弦　天之坤為股     坤之月為勾11.         山之地為小差弦　山之艮為股     艮之地為勾12.         日之川為皇極弦　日之心為股     心之川為勾13.         月之山為太虛弦　月之泛為股     泛之山為勾14.         日之月為明弦　　日之南為股     南之月為勾15.         山之川為

弦　　山之東為股    東之川為勾第 15 條之“

”，“

”即無“寸”之“專”字，其義未詳。第 13 條“月之泛為股”及“泛之山為勾”之“泛”字一作“水”，依照其他相關之字觀之，相信以“水”字為佳，蓋同屬天文地理之字也，雖“泛”亦含水義。以上勾股形之命名法以其弦﹝斜邊﹞及其直角為主，知其弦，即知該勾股形，亦知其直角之位置，在其直角之位置標示號碼，例如勾股形 1 之弦為“天地”，其直角之位置為“乾”，則在“乾”之位置標示 1，1 為最大之勾股形。又例如弦為“山川”，其直角之位置為“東”，則在“東”之位置標示 15，15 為最小之勾股形。其餘命名法可類推﹝見上圖﹞。圓城圖式有15 勾股形，全部以“天地”線間之線段為弦，每一勾股形之勾、股、弦分別以ai、bi 及ci 表示，i 為序號。“總率名號”為其總名，如下表所示：序號勾股形名稱弦ci股bi勾ai1天地乾通弦（天地）c1通股（天乾）b1通勾（地乾）a12天川西邊弦（天川）c2邊股（天西）b2邊勾（西川）a3日地北底弦（日地）c3底股（日北）b3底勾（北地）a34天山金黃廣弦（天山）c4天金b4金山a45月地泉黃長弦（月地）c5月泉b5泉地a56天日旦上高弦（天日）c6天旦b6旦日a67日山朱下高弦（日山）c7日朱b7朱山a78月川青上平弦（月川）c8月青b8青川a89川地夕下平弦（川地）c9川夕b9夕地a910天月坤大差弦（天月）c10天坤b10坤月a1011山地艮小差弦（山地）c11山艮b11艮地a1112日川心皇極弦（日川）c12日心b12心川a1213月山泛太虛弦（月山）c13月泛b13泛山a1314日月南明弦（日月）c14日南b14南月a1415山川東

弦（山川）c15山東b15東川a15在“圓城圖式”中，一勾股形可以以其弦命名，例如“通弦”，指“天地”之弦，指勾股形“天地乾”；又例如“黃廣弦”，指“天山”之弦，指勾股形“天山金”；其餘類推。以上第15勾股形中 6之上高 = 7 之下高﹝見黃色之列﹞；8 之上平 = 9 之下平﹝見淺綠色之列﹞，因此，15勾股形中，只有13相異之勾股形。只須要知勾股形天地乾之勾a1 及股 b1，其餘勾股形﹝2 至 15﹞之三邊長亦可算出。勾股形“天地乾”之內容圓圓徑乃重要數字，必須先算出，否則難以算出其餘勾股形之邊長。今設圓形 EFD 為句股ABC之容圓，O 為圓心，EFD 為圓切點，OE、OF、OD 為圓半徑，分別垂直 AB、BC、CA，連OA、OB、OC，形成六個句股形，兩兩全等，即 ΔBOE≣ΔBOF；ΔODA≣ΔOEA；ΔOFC≣ΔODC﹝見下圖﹞。又設直角三角形之內圓半徑為r，今考慮以下三角形面積：∆ABC =

；∆OAC=

ra；∆OBC=

rb；∆OAB=

rc。顯然，∆ABC = ∆OAC + ∆OBC + ∆OAB，即

=

ra +

rb +

rcab = r(a + b + c)，r =

。左右兩方乘以2得 2ab= 2r(a+ b + c)，移項得：即2r =

。2r為直徑。注意 c = √(a2+ b2)。

上式可作如下之變形：2r =

=

=

=

=

﹝以句股定理化簡﹞= a+ b – c 。以上乃重要之結果。《測圓海鏡》之“今問正數”篇乃計算“圓城圖式”之各種勾股形，今作如下之假設：弦：c勾：a股：b勾股和：a + b勾股較：b – a勾弦和：a + c勾弦較：c – a股弦和：b + c股弦較：c – b弦較和：c + (b – a) ﹝較指勾股較，和指弦與勾股較之和﹞弦較較：c – (b – a) ﹝第一較字指勾股較，第二較字指弦與勾股較之較﹞弦和和：(a + b)+ c ﹝第一和字指勾股和，第二和字指弦與勾股和之和﹞弦和較：(a+ b) – c ﹝第一和字指勾股和，第二較字指弦與勾股和之較﹞以上為“三位”之“和較十數”。“三位”指三邊。(1)   天地乾今已知天地乾之通勾及通股，其弦及“和較十數”亦可算出。今已知：通勾：a1= 320通股：b1 = 600通弦：c1 = √(3202 + 6002)= 680勾股和：a1 + b1 = 320 + 600 =920勾股較：b1 – a1 = 600 –320 = 280勾弦和：a1 + c1= 320 + 680 = 1000勾弦較：c1 – a1 = 680 – 320 =360股弦和：b1 + c1 = 600 + 680 =1280股弦較：c1 – b1 = 680 – 600 =80弦較和：c1 + (b1 – a1)= 680 + 280 = 960弦較較：c1 – (b1 – a1)= 680 – 280 = 400弦和和：(a1+ b1) + c1 = 920 + 680 = 1600弦和較：(a1+b1) – c1 = 920 – 680 = 240﹝內容圓直徑，半徑為 120﹞(2)   天川西依天地乾之數字算出邊股、邊勾及邊弦。邊股 = 通股 – 容圓半徑，再依相似三角形對應邊成比例法算出邊勾，以勾股定理算出邊弦。邊股：b2 = b1 –

(a1 + b1 – c1) =

(c1 + b1 – a1) =

(680 + 600 – 320)= 960 ÷ 2 = 480或邊股 =600 – 120 = 480邊勾：a2 =

(c1 + b1 – a1) = 480 ×

= 256邊弦：c2 = √(2562 + 4802)= 544勾股和：a2 + b2 = 256 + 480 =736勾股較：b2 – a2 = 480 –256 = 224勾弦和：a2 + c2= 256 + 544 = 800勾弦較：c2 – a2 = 544 – 256 =288股弦和：b2 + c2 = 480 + 544 =1024股弦較：c2 – b2 = 544 – 480 =64弦較和：c2 + (b2 – a2)= 544 + 224 = 768弦較較：c2 – (b2 – a2)= 544 – 224 = 320弦和和：(a2+ b2) + c2 = 736 + 544 = 1280弦和較：(a2+ b2) – c2 = 736 – 544 = 192細心觀察以上各數，乃天地乾各數乘以 0.8。(3)   日地北依天地乾之數字算出邊股、邊勾及邊弦。底勾 = 通勾 – 容圓半徑，再依相似三角形對應邊成比例法算出底股，以勾股定理算出底弦。底勾 = a3，但 a3 = a1–

(a1 + b1 – c1)=

(a1 – b1 + c1)=

(320 + 680 – 600)= 400 ÷ 2= 200。底股：b3 =

=

(a1 – b1 + c1) = 200 ×

= 600 × 0.625 = 375底弦：c3 = 680 × 0.625 = 425勾股和：a3 + b3 = 920 × 0.625= 575勾股較：b3 – a3 = 280 ×0.625 = 175勾弦和：a3 + c3= 1000 × 0.625= 625勾弦較：c3 – a3 =360× 0.625=225股弦和：b3 + c3 = 1280 ×0.625= 800股弦較：c3 – b3 = 80 × 0.625=50弦較和：c3 + (b3 – a3)= 960 × 0.625= 600弦較較：c3 – (b3 – a3)= 400 × 0.625= 250弦和和：(a3+ b3) + c3 = 1600 × 0.625= 1000弦和較：(a3+ b3) – c3 = 240 × 0.625= 150細心觀察以上各數，乃天地乾各數乘以 0.625。以下為首三勾股形之“和較十數”：勾股弦和較數符號天地乾 1天川西 2日地北 3弦c680544425勾a320256200股b600480375勾股和a + b920736575勾股較b – a280224175勾弦和a + c1000800625勾弦較c – a360288225股弦和b + c12801024800股弦較c – b806450弦較和c + (b – a)960768600弦較較c – (b – a)400320250弦和和(a + b) + c160012801000弦和較(a + b) – c240192150以下為《測圓海鏡細草》原文：

[1]詬病也。[2]悉心研究也。[3] 裴子野曾祖裴松之在劉宋時受詔續修何承天之《宋書》，未完而卒。裴子野繼承修史重任，撰寫《宋略》。《宋略》初稿成於齊末中興二年（502年），定稿成於梁初天監三年（504年）。[4]元嘉（424年—453年）是南朝宋文帝劉義隆年號，十一年合公元 434 年。[5]《測圓海鏡》用“水”，《測圓海鏡細草》則用“泛”。