点点滴滴之抛物线性质（二）

抛物线性质（二）

问题再现：2019年高考北京卷（理）18题

已知抛物线C：x²=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

（设直线y=−1与y轴交于点P，则第二问只需证明|AP||BP|为常数）

抛物线性质：过抛物线C：y²=2px焦点的直线l与抛物线C交于两点M，N，直线x=m（m为常数）分别交直线OM、ON和x轴于点A、点B和点P，O为原点，则|AP||BP|为常数或者说当m≠0时，以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（当m=0时，圆退缩成一个点，即坐标原点）.

当直线l的斜率不存在时，上式也成立.

所以当m≠0时，以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点

（-m，0）和（3m，0）

问题变式一：定点Q(m,0)到抛物线C：y²=2px焦点F的距离为a，过F的直线l与抛物线C交于两点M，N，过点M作x轴的垂线与直线ON交于点A，O为原点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若以AM为直径的圆经过点Q，求直线l的方程.

问题变式二：过抛物线C：y²=2px焦点F的直线l与抛物线C交于两点M，N，抛物线C的准线x=m分别交直线OM、ON于点A、点B，O为原点，

（1）求抛物线C的方程；

（2）证明：以AB为直径的圆经过焦点F.

(题目中m,a为常数，根据需要适当赋值即可)