解读二次函数

我们知道，二次函数是函数大家族中的极为重要的成员之一，它的许多性质在我们实际生活中有着广泛应用，因此同学们学习时一定要深刻领会以下几个问题：

一、正确理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达式

二、知道二次函数的图象和性质

一般地，抛物线y＝ax²的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点.a越大，抛物线的开口越小；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.a越大，抛物线的开口越大.

三、知道形如y＝ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的图象都可以由抛物线y＝ax²平移而得到

一般地，抛物线y＝a(x－h)²+ k与y＝ax²形状相同，位置不同.把抛物线y＝ax²向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)²+ k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.

抛物线y＝a(x－h)²+ k有如下特点：①当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；②对称轴是直线x＝h；③顶点坐标是（h，k）.

四、能确定抛物线顶点与对称轴的公式，会求二次函数的最值

五、知道二次函数与一元二次方程的关系

一般地，从二次函数y＝ax²+bx+c的图象可知：①如果抛物线y＝ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x₀，那么当x＝x₀时，函数的值是0，因此x＝x₀就是方程ax²+bx+c＝0的一个根；②二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.

由此可知，对于二次函数y＝ax²+bx+c，若设△＝b²－4ac，则△的符号决定抛物线与x轴交点情况：当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时的两个交点的横坐标即为一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个不等的实数根；当△＜0时，抛物线与x轴有一个交点，此时的这个交点的横坐标即为一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个相等的实数根；当△＝0时，抛物线与x轴没有交点，此时的一元二次方程ax²+bx+c＝0没有实数根.以上结论的逆命题也成立.

如，已知二次函数y＝－x²+4x.求函数图象与x轴的交点坐标.

若设y＝0，则－x²+4x＝0，即x(x－4)＝0，所以x₁＝0，x₂＝4，所以图象与x轴的交点坐标为：(0，0)与(4，0).

六、明确待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地，在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x，y的值)可设解析式为y＝ax²+bx+c，然后组成三元一次方程组来求解；在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设解析式为y＝a(x－h)²+k；在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴，则可设解析式为y＝a(x－x₁)(x－x₂)来求解.

另外，由已知图象的平移或翻折变换求表达式时，通常是将已知图象的解析式写成“顶点式”即y＝a(x－k)²+h的形式，若图象右（左）移动几个单位，k的值就减（加）几个单位，若图象向上（下）移动几个单位，h的值就加（减）几个单位.当的图象绕顶点旋转180°，即翻折时，旋转前后顶点坐标不变，而开口方向相反，故二次顶系数互为相反数；当图象沿x轴翻折时，翻折前后顶点关于x轴对称，开口方向相反.