欧拉对分母是二项式情况下的无穷级数的大发现

前面数学家研究了分母是一元一次，一元二次，一元三次函数情况下的无穷级数，那对于分母是二项式的幂情况下的级数又是什么样式的呢，大数学家欧拉给出了答案，并得出了一个优美方程式

首先欧拉分析了二次幂情况下的分数函数

依照前面的待定系数法，得到展开级数为

所以Z^n系数为

这是一个递推级数，即每一项都由前两项推出，令ɑ=1，z=1你就可以清楚的看到递推关系

相邻项差相等。即等差级数

等差级数都是递推级数，如果A+B+C+D……都是等差级数，二项式二次幂情况下的无穷级数系数关系则是：

欧拉继续分析二项式三次幂情况下的无穷级数

二项式定理展开

展成无穷级数得到

合并发现Z^n的系数就是

令ɑ=1，z=1时，将上述的每项系数用A+B+C……来表示时，得到的无穷级数就是二阶差分为常数的情况（递推两次的结果为常数）

同理这个二阶的递推级数每一项都有前三项决定

ɑ=1，z=1

同理对于二项式四次幂情况下的无穷级数就是三阶差分为常数的情况（递推三次的结果为常数），每一项都有前四项决定

用这一方法可以证明，差分最终为常数的这种代数级数不管是几阶，都是递推级数，分母的幂n比这个阶数大于1

推广到一般形式，如果各项的系数是，且是m阶差分为常数的递推情况

则各项系数存在如下关系，方程恒成立

双重符号处，n为偶数时取上面，n为奇数时取下面，由此看出递推级数范围之广，内容之精深。需要不断地去探讨更深层次的奥妙。