第3招：左右开弓-对称性应用

第3招：左右开弓 - 对称性应用

对称性函数在高考题中出现的频率是较高的，函数图象的对称性（广义奇偶性）与函数周期性有密切的关系，因此，在函数图象的对称性之中，往往也隐含着周期性，只要我们能够较熟练地掌握这些函数的特点、类型及解法，注重对称性思想在解题中的应用，便能够事半功倍、出人意料地快速得出正确的解答。

1.利用函数的对称性解题可归纳为下列类型:

(1)利用奇偶函数图象的对称性;

(2)利用对称型函数的对称性;

(3)综合应用对称函数的对称性。

2.几个结论:

(1)若函数

是偶函数,则函数

的图象关于直线

对称,反之亦然。

(2)若函数

是奇函数,则函数

的图象关于点

成中心对称,反之亦然。

(3)对任意的

,若

,则函数图象关于直线

对称。

(4)函数

与

的图象关于直线

对称,函数

与

的图象关于点

成中心对称。

3.对称性与周期性的联系:

(1)若函数

的图象既关于直线

对称,又关于直线

对称(

),则

是周期函数,且

是它的一个周期。

(2)若函数

的图象既关于点

对称,又关于点

对称(

),则

是周期函数,且

是它的一个周期。

(3)若函数

的图象既关于直线

对称,又关于点

对称(

),则

是周期函数,且

是它的一个周期。

1.(2018新课标理)已知

是定义域为

的奇函数,满足

,若

,则

( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

要求

个函数值的和,逐个去求显然不是好办法,注意到

是奇函数,其图象关于原点成中心对称,又有

,即图象关于直线

对称,故

是周期函数,先求出周期,再去找规律。

因为

是定义域为

的奇函数,

,

(1)

又

,所以

(2)

由(1)、(2)得

(3)

用

代替

得

(4)

由(3)、(4)得

,所以

的周期为

。

由于

,

,故令

,得

,

令

,得

,

令

,得

,

故

,

所以

.

2. (《中学数学研究》2019)已知函数

满足

,若函数

与

图象的交点为

,

,…,

,求

的值。

【答案】见解析

【解析】因为函数

,函数

的图象关于原点

成中心对称,所以函数

的图象关于点

成中心对称。

因为

,所以

,也即点

也在函数

的图象上,因为

的中心为

,所以函数

也关于点

成中心对称,所以点

与点

,点

与点

…分别关于点

成中心对称。因为

,

,

所以

。