存在性问题的经典方法

存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。函数综合题中，存在性问题是各地中考的热点。这类题目中图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，且有一定的难度。

本节介绍几种存在性问题的经典方法，为以后一次函数、二次函数中的存在性问题的解决提供帮助。

一、等腰三角形存在性问题

解决等腰三角形存在性问题一般有几何法和代数法两种方法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。

1. 代数法（盲解盲算法）

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三种情况．

代数法的一般步骤：

罗列三边长（的平方），分类列方程，解方程并检验．

2. 几何法（“两圆一线”法）

如图，已知线段AB，在平面内找一点C，使得△ABC为等腰三角形，满足条件的点C的集合如下图所示（在以点A，B为圆心，AB长为半径的圆和线段AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点）

【例题分析】

【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标。

【解答】解法一：代数法，盲解盲算

由于动点P在坐标轴上，本题需先分两大类，即点P在x轴上或点P在y轴上.

情形一：当点P在x轴上时，

第一步：写出或设出三角形三个顶点的坐标；

由题可知A（2，3），O（0，0），设P（t，0）；坐标已有，接下来就是计算；

第二步：利用两点间距离公式，计算三边长的平方；

上述代数解法的最大优势是实现了盲解盲算，只要写出或设出三个顶点的坐标，后续只剩相关计算而已，但最后必须要进行取舍，养成解后检验或验算的好习惯.

解法二：“两圆一线”法

二、直角三角形存在性问题

解决直角三角形存在性问题一般有几何法和代数法两种方法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。

1. 代数法（盲解盲算法）

如果△ABC是直角三角形，那么存在①∠A为直角，②∠B为直角，③∠C为直角三种情况．

代数法的一般步骤：罗列三边长（的平方），分类列方程，解方程并检验．

2. 几何法（“两线一圆”法）

如果已知两个定点A、B，在平面内求找一点C，使得△ABC为直角三角形：分别过已知线段AB的两个端点作线段AB的垂线，再以已知线段AB为直径作圆，这两条直线和这个圆上（除了和A、B在同一直线上）的所有点均满足条件，如下图所示：

【例题分析】

【例1】在平面直角坐标系中有两点A(−2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，求满足条件的点C的坐标。

【简析】解法一：代数法，盲解盲算

此类直角三角形存在性问题与等腰三角形存在性问题同根同源，解法雷同，均可借助两点间距离公式，实现盲解盲算，具体如下：

由于动点C在坐标轴上，本题仍需先分两大类，即点C在x轴上或点C在y轴上.

情形一：当点C在x轴上时，

第一步：列出三角形三个顶点的坐标；

由题可知A（−2，2），B（3，2），设C（t，0）；坐标已有，接下来就是计算了；

第二步：计算三条边长的平方；

三、平行四边形存在性问题

解平行四边形的存在性问题一般分三步：

第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．

已知定点的个数不同，选用的方法也不同，通常有以下两种情况：

1. 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．

2. 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．

方法一、平移坐标法（已知三个定点可选用这种方法）

如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请找出点D的位置。