高中物理:与弹簧相连接的物理问题
一、用胡克定律来分析
弹簧和物体相互作用时,致使弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循胡克定律,即
或
。显然,弹簧的长度发生变化的时候,必用胡克定律。
例1、劲度系数为k的弹簧悬挂在天花板的O点,下端挂一质量为m的物体,用托盘托着,使弹簧位于原长位置,然后使其以加速度a由静止开始匀加速下降,求物体匀加速下降的时间。
解析:物体下降的位移就是弹簧的形变长度,弹力越来越大,因而托盘施加的向上的压力越来越小,且匀加速运动到压力为零。由匀变速直线运动公式及牛顿定律得:
①
②
③
解以上三式得:
。
二、用弹簧的伸缩性质来分析
弹簧能承受拉伸的力,也能承受压缩的力。在分析有关弹簧问题时,要分析弹簧承受的是拉力还是压力。
例2、如图1所示,小圆环重
固定的大环半径为R,轻弹簧原长为L(L<2R),其劲度系数为k,接触光滑,求小环静止时。弹簧与竖直方向的夹角。
解析:以小圆环为研究对象,小圆环受竖直向下的重力G、大环施加的弹力N和弹簧的弹力F。若弹簧处于压缩状态,小球受到斜向下的弹力,则N的方向无论是指向大环的圆心还是背向大环的圆心,小环都不能平衡。因此,弹簧对小环的弹力F一定斜向上,大环施加的弹力刀必须背向圆心,受力情况如图2所示。根据几何知识,“同弧所对的圆心角是圆周角的二倍”,即弹簧拉力N的作用线在重力mg和大环弹力N的角分线上。所以
另外,根据胡可定律:
解以上式得:
即
三、用弹簧隐含的临界条件来分析
很多由弹簧设计的物理问题,在其运动的过程中隐含着临界状态等已知条件,只有充分利用这一隐含的条件才能解决问题。
例3、已知弹簧劲度系数为k,物块重为m,弹簧立在水平桌面上,下端固定,上端固定一轻质盘,物块放于盘中,如图3所示。现给物块一向下的压力F,当物块静止时,撤去外力。在运动过程中,物块正好不离开盘,求:
(1)给物块所受的向下的压力F。
(2)在运动过程中盘对物块的最大作用力。
解析、(1)由于物块正好不离开盘,可知物块振动到最高点时,弹簧正好处在原长位置,所以有:
由对称性,物块在最低点时的加速度也为a,因为盘的质量不计,由牛顿第二定律得:
物块被压到最低点静止时有:
由以上三式得:
(2)在最低点时盘对物块的支持力最大,此时有:
,解得
。
四、用弹簧特有的惰性特性来分析
由于弹簧的特殊结构。弹簧的弹力是渐变的,而不是突变的,弹力的变化需要一定的“时间”。有时充分利用弹簧的这一“惰性”是解决问题的先决条件。
例4、质量为m的小球,在不可伸长的绳AC和轻质弹簧BC作用下静止,如图4所示。且AC=BC,
,求突然在球附近剪断弹簧或绳子时,小球的加速度分别是多少?
解析、刚剪断弹簧的瞬间,小球受重力mg和绳的拉力T,其速度为零,故小球沿绳的方向加速度为零,仅有切向加速度且为
,绳的拉力由原来的
突变为
;而剪断绳的瞬间,由于弹簧的拉力不可突变,仍保持原来的大小和方向,故小球受到的合力与原来绳子的拉力大小相等,方向相反,加速度为
,方向沿AC向下。
五、用弹簧振子的对称性质来分析
很多弹簧在运动时做简谐运动,而简谐运动是有对称性的。
例5、如图5所示,一质量为M的塑料球形容器,在A处与水平面接触。它的内部有一直立的轻弹簧。弹簧下端固定于容器内部底部,上端系一带正电、质量为m的小球在竖直方向振动,当加一向上的匀强电场后,弹簧正好在原长时,小球恰好有最大速度。在振动过程中球形容器对桌面的最小压力为0,求小球振动的最大加速度和容器对桌面的最大压力。
解析、因为弹簧正好在原长时,小球恰好速度最大所以有:
小球在最高点时容器对桌面的压力最小,有:
此时小球受力如图6所示,所受合力为
由以上三式得小球的加速度
。
显然,在最低点容器对桌面的压力最大,由振动的对称性可知小球在最低点和最高点有相同的加速度,所以
。
解以上式子得:
所以容器对桌面的压力
六、用弹簧的弹力做功来分析
弹簧发生变形时,具有一定的弹性势能。通过弹簧弹力做功,弹性势能要发生变化,它们的关系为
。
例6、如图7所示,密闭绝热容器内有一绝热的具有一定质的活塞,活塞的上部封闭着气体,下部为真空,活塞与器壁的摩擦忽略不计,置于真空中的轻弹簧的一端固定于容器的底部,另一端固定在活塞上,弹簧被压缩后用绳扎紧,此时弹簧的弹性势能为
(弹簧处于自然长度时的弹性势能为零),现绳突然断开,弹簧推动活塞向上运动,经过多次往复运动后活塞静止,气体过到平衡态,经过此过程。
A.
全部转换为气体的内能
B.
一部分转换成活塞的重力势能,其余部分仍为弹簧的弹性势能
C.
全部转换成活塞的重力势能和气体的内能
D.
一部分村换成活塞的重力势能,一部分转换成气体的内能,其余部分仍为弹簧的弹性势能
解析、断开绳子,在弹力作用下活塞上下运动,最终静止后的位置高于初始位置。通过弹簧弹力做功,弹性势能
,的能量转化有三种形式:活塞的重力势能、气体的内能及弹簧的弹性势能,故D项正确。
七、用弹簧弹性势能来分析
弹簧存储或释放的弹性势能要转化为其他形式的能,反过来其他形式的能也可转化为弹性势能。追究弹性势能释放和存储过程可解题。
例7、在原子核物理中,研究核子与核子关系的最有效途径是“双电荷交换反应”这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似:两个小球A和B用轻质弹簧相连,在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定档板P,右边有一小球C沿轨道以速度
射向B球,如图8所示,C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变。然后,A球与档板P发生碰撞,碰后A、D静止不动,A与P接触而不粘连。过一段时间,突然解除锁定(锁定及解除锁定均无机械能损失),已知A、B、C三球的质量均为m。
(l)求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。
(2)求在A球离开档板P之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能。
解析、试题只是给出初始状态的示意图,而后的运动过程可分为五个阶段,分别如图9中(a)至(e)所示。
图(a)表示C、B发生碰撞结成D的瞬间;
图(b)表示D、A向左运动,弹簧长度变为最短且被锁定;
图(。)表示A球和挡板P碰撞后,A、D都不动;
图(d)表示解除锁定后,弹簧恢复原长瞬间;
图(e)表示,A球离开挡板P后,弹簧具有最大弹性势能瞬间。
(1)设C球与B球粘结成D时,D的速度为
,由动量守恒,有
①
当弹簧压至最短时,D与A的速度相等,设此速度为
,由动量守恒,有
②
由①、②两式得A的速度
③
(2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为
,由能量守恒,有
④
撞击P后,A与D的动能都为零,解除锁定后,当弹簧刚恢复到自然长度时,势能全部转变成D的动能,设D的速度为
,则有
⑤
当弹簧伸长时,A球离开挡板P,并获得速度。当A、D的速度相等时,弹簧伸至最长。设此时的速度为
,由动量守恒,有
⑥
当弹簧伸到最长时,其势能最大,设此势能为
,由能量守恒,有
⑦
解以上各式得
⑧