模型 | “8字”模型与“飞镖”模型必知结论

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三角形中角度计算相关的模型
初中数学图形运动解题技巧

有些图形有名字，比如三角形

有些图形没有名字，比如xxx

有些图形可以有名字

这类图形普遍具有如下特性：

基本、常见、定条件

这便是模型~

在平行与三角形之后，了解下与三角形相关的两大模型：8字与飞镖．

01
“8”字模型
模型：如图，线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，
则有：∠A+∠B=∠C+∠D．

思路1：三角形内角和定理

∵∠A+∠B+∠AOB=180°，

∠C+∠D+∠COD=180°，

且∠AOB=∠COD，

∴∠A+∠B=∠C+∠D．

思路2：三角形外角定理

∵∠A+∠B=∠BOD，

∠C+∠D=∠BOD，

∴∠A+∠B=∠C+∠D．

02
“飞镖”模型

模型：如图，在凹四边形ABOC中，

则有：∠A+∠B+∠C=∠BOC．

思路1：三角形内角和定理

如图，连接BC，则∠1+∠2+∠BOC=180°，

又∠A+∠4+∠1+∠3+∠2=180°，

∴∠A+∠4+∠3=∠BOC，

即∠A+∠B+∠C=∠BOC．

思路2：三角形外角定理

连接AO并延长，则根据三角形外角定理可得：

∠1+∠B=∠3，∠2+∠C=∠4，

∴∠1+∠2+∠B+∠C=∠3+∠4，

∴∠A+∠B+∠C=∠BOC．

思路3：三角形外角定理

延长BO，与AC边交于点D，

则∠A+∠B=∠1，

又∵∠1+∠C=∠BOC，

∴∠A+∠B+∠C=∠BOC．

思路4：四边形内角和

凹四边形内角和为360°．
∴∠A+∠B+∠C=∠BOC．
03
两大模型综合应用
问题：求五角星的“内角和”．
如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________．

思路1：飞镖+三角形

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠COD+∠B+∠E
=∠BOE+∠B+∠E=180°．

思路2：8字+三角形

连接CD，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠ACO+∠ADO+∠OCD+∠ODC
=∠A+∠ACD+∠ADC=180°．

思路3：三角形内角和

如图，∠A+∠1+∠2=180°，
∠B、∠C、∠D、∠E同理，
用5个三角形的内角和减去两个五边形外角和，
即为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果．
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=5×180°-2×360°=180°．

思路4：三角形外角定理

∠A+∠1等于五边形的一个内角，
∠B、∠C、∠D、∠E同理，
5个角之和与五边形外角和等于五边形的内角和．
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+360°=540°，
可得：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

思路5：三角形外角和定理

类似于旋转的思路看三角形外角和，
五角星相当于旋转了两周，
即“外角和”为2×360°，
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=5×180°-2×360°=180°．（5个平角-2圈）

为何是两圈？动手画一画，尽可能让棱角磨平，再感受感受~

五角星问题还是过于简单，并不能充分体现“8字”与“飞镖”价值，类比探究一下七角星的“内角和”．
如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值．

思路1：两个飞镖+三角形

思路2：两个8字+三角形

思路3：8字+飞镖+三角形

思路4：三个三角形+飞镖

思路5：三个三角形+8字

思路6：外角

7×180°-3×360°=180°（7个平角-3圈）
类似五角星，七角星旋转了三周，
故结果为7个平角之和减去3个周角之和．

显然法1-法3优于法4和法5，模型的意义在于解剖复杂的几何图形，将复杂图形看成由一些简单基本的图形构成，了解了常见模型的结论，在解题时就有了更多的工具，将复杂问题拆解为简单问题．

思考
是否有像五角星、七角星这样一笔画成的六角星？
考虑六角星时首先考虑五角星如何画，一个正五角星等价于作一个正五边形，等价于将圆五等分，尺规作图可以实现．
参考有一点数学话题：尺规作图
接着选点相连，隔一点相连即可得五角星，至于六角星，考虑2和3都是6的因数，故无法一笔得出．
类似不难发现，所谓七角星其实可以有两种，八角形却只有一种，九……
你懂我在说什么对吧~

文章来源：有一点数学、作者：刘岳；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等，请联系编辑微信alarmact第一时间处理。

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