如何通俗地解释泰勒公式？
泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
先来感受一下：
此处有互动内容，点击最下面的“阅读原文”可以操作。
需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。
的区间上的函数 在 点处 次可导，那么对于这个区间上的任意 都有：
泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果 的话，就是麦克劳伦公式，即
这个看起来简单一点，我们下面只讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。
展开来就是
这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。
那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？
怎么才能让 和 的图像特性能结合起来呢？
我们来动手试试看看系数之间如何压制的：
此处有互动内容，点击最下面的“阅读原文”进行操作。
需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。
通过改变系数，多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。送你一颗心（虽然是隐函数，意思一下）：
是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有 就是这么任性。
增加一个 看看。
增加一个 看看。
可以看出， 不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近 。并且 越大，起作用的区域距离0越远。
是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。
同样的，我们再增加一个 试试。
可以看到 在适当的位置，改变了 的弯曲方向，最终让 更好的逼近了 。
一图胜前言，动手看看 的展开吧：
此处有互动内容，点击最下面的“阅读原文”进行操作。
需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。
4 泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系
数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义：
这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项 我们一直没有提。余项即使用泰勒公式估算的误差，即
余项的代数式是
其中 。是不是看着有点像了？
当 的时候，根据泰勒公式有， ，把拉格朗日中值定理中的 换成 ，那么拉格朗日中值定理根本就是 时的泰勒公式。结合拉格朗日中值定理，我们来看看 的时候，泰勒公式的几何意义：
当 的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么 呢？
这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。
还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊？
根据“以直代曲、化整为零”的数学思想，产生了泰勒公式。
如上图，把曲线等分为 份，分别为 ，令 ，...， 。我们可以推出（ 可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：
也就是说， 全部可以由 和 决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限 ，就可以推出泰勒公式。
泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把 进行泰勒展开进行计算的。
泰勒公式还可以把问题简化，比如计算 ，代入 的泰勒展开有：
其中 是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小， 。解题神器有没有？