陈省身：数学陶冶我一生（下）

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陈省身：数学陶冶我一生（上）

04

普林斯顿阳光灿烂

我于1943年8月抵达普林斯顿。气氛的变化令人难忘。那段日子高等研究院很清静，大多数人已离去为战事服务。

Hermann Weyl对我的工作很感兴趣。我访问之前他曾为《数学纪事》（Annals of Mathematics）审阅过我一篇有关迷向曲面的论文，并写了一个很长的给予好评的报告。这件事是他亲自泄露给我的。报告提出了改进的建议，这说明他仔细地看了全文。我们经常交谈。Weyl的深刻洞察之一是预言代数几何有非常美好的前景。

Andre Weil那时在附近的Lehigh大学，我们很快就见了面并有好多可谈的内容。当时Weil刚刚发表与Allendoerfer合作的关于Gauss-Bonnet公式的论文，它立刻成为我们讨论的话题。

根据我对二维情况的埋解，我知道正确的证明应该建基于我们现在称之为超度（transgression）的概念之上。困难则有两个：

（1）当时我对关于向量场的奇点的 Poincare-Hopf 定理不甚清楚；

（2）超度必须在单位切丛中而不是在主丛中实现，这就涉及到一个不平凡的技术困难。

这两个困难我都在短时间克服了，事情有了一个满意的结果。我仍认为这是我做得最好的工作。

其后自然要把这个结果扩展到Stiefel-Whitney类。那时即使在普林斯顿，谈起纤维丛也必得从定义开始。那时没有矢量丛，只有球丛。我注意到复示性类较简单，容许局部曲率表示。这项工作不难，但它并非那个时代拓扑学的时尚课题。

我虽是高等研究院的成员，但很多时间是在普林斯顿大学的范氏大楼度过的。Chevalley那时正在写他的有关李群的书。Lefschetz则固执己见，他不愿用当时盛行的常规方法研究微分几何。当时请我为《数学纪事》审阅一篇论文而建议退稿后，他让我担任该刊的副主编（associate editor）。

普林斯顿的环境与工作节拍令我十分惬意。我对数学的看法成熟多了。留居普林斯顿的日子使我感到极大的乐趣。近年来科学竞争已使科学家的生活大煞风景，尽管在数学方面的情况要好得多。我认为没有非要如此快地出成果的必要，我也不为电子邮件的发现所动。

1945年底我告别普林斯顿回中国。踏上故土立即受命组建中国的科学院，即中央研究院的数学研究院，其时二次大战虽已结束，中国却由于内战而处于分裂状态。我向Hermann Weyl发出访华邀请，他欣然接受。但是中国当时的形势使这一访问未能实现。

1948年底南京政府处于崩溃之中，感谢高等研究院主动安排我离华。1949年冬季学期我在高等研究院，是Veblen的微分几何讨论班的主讲人。讲稿两年后补写出来，流传甚广。

这些讲稿现收录在已出版的我的《论文选集》第四卷内。主要结果是Weil同态。这是陈类从酉群到任意李群的一个推广。1944年我在写有关复示性类的论文时就知道这个结果；由于未熟练掌握李群，当时未能证明它。Weil通过考虑联络族，提供了一个关键性的思想。我把这个结果称为Weil同态。朋友们认为我应该分享这一荣誉，对此我自然不持异议。

05

数学上进入不惑之年

二次大战后，Marshall Stone应召重组芝加哥大学数学系，并任系主任。他最早发出的两份聘约分别送达Hassler Whitney与Andre Weil，这是他洞鉴数学与数学界的一个证明。Whitney谢绝了，而Weil经过数次协商后接受了。

我在中国时Stone就曾写信给我谈起要在芝加哥为我提供一个讯问职位的事。1949年我来美国后，芝加哥大学数学系决定长期聘我。我认为芝加哥大学是美国唯一的其主要目标是「知识进步」而非教育的大学。我有许多朋友在那里的数学系；1949年夏我成了该系的成员。由此引出了一段愉快而有益的合作。

1949年～1950学年我开了一门名为「大范围微分几何」的课程，有一批才华横溢的学生。我自己正在开辟自己的道路，我的学生及时更正了我的许多错误和疏忽，这是生气勃勃而又有趣的结合。我还记得Arnord Shapiro，他曾主持许多这样的讨论。

回想起来，当时我对微分几何的了解还是初步的。这门学科中一些争论问题至今未决，也许正反映了它的力量之所在。例如，曲面是什么？是嵌入还是浸入，或是由可能有奇点的方程所定义的？另一方面，我的课上涉及的许多课题，也获得了新的多方面的发展。

我与Weil联系密切。他随时都有准备，随时都可合作。在与我讨论过数学的众多数学家中，Weil是极少数能迅速抓全我的思想并给予有益的评说的数学家之一。我们常沿着密执安湖畔长时间的漫步，这在当时还很安全。

我对代数拓扑也感兴趣，偶尔开一门这方面的课。我与Ed Spanier在球丛的研究上进行过合作。所获结果之一是把Gysin的工作写成一个正合序列。Rene Thom把它做得更明白化了，这个结果现在通常称为Thom同构。

我觉得芝加哥和汉堡都非常令人愉快。我认为两者的规模都很合适。不幸的是数学的发展已使一切都膨胀了。

06

在西海岸定居

1960年我迁往伯克利（Berkeley）。对我来说这地方并不陌生。我在中国的老师姜立夫教授就是在伯克利获得理学学位的。1946年和1949年我曾两度驻足伯克利并在伯克利数学系呆过一段时间。

伯克利数学系是第一流的，它由G.C. Evans创建。Evans曾在若干场合询问过我对去伯克利有无兴趣。Evans的兄弟曾是天津著名的西文书店的老板。我曾在那儿买过一些课本，而书价一般贵得吓人。

Evans要退休了，我去伯克利工作的事变得认真了，确实，我有时想到，自己年纪大了，伯克利较温暖的气候很有吸引力。当然，伯克利数学系在扩展，空运的发达已使加利福尼亚不再像从前那么孤立等因素，亦促成了我的这次迁居。

伯克利一直在提高它在数学界的地位，吸引着许多优秀的学生。在我指导下有31名研究生获博士学位，当然我还影响其它一些学生。我开始以「第二作者身份」与年轻人合作撰写论文，如与Bott，Griffiths、Moser，以及Simons等合作就是如此。在这种情况下我感觉责任较轻。生活越来越觉舒畅。

与我在学术上交往密切的同事有Hans Lewy和Chuck Morrey，他们都是有创见、能力很强的分析学家。Lewy和对R6中的三维黎曼度量的局部等距嵌入问题进行过一段时问的研究。它把我们导向三次渐近锥面的研究，我们弄清楚那是双曲的，但仅止于此。

数学中的微分的作用很奇妙。通常人们倾向于认为代数和拓扑是数学的两根支柱。但是事情并非那样简单；牛顿和莱布尼兹玩的是绝技。这一时期已经看到微分几何汇入了数学的主流。

07

老耄之年的消遣

我的生命历程正在接近终点，我唯一的考虑是怎样度过这段时光。答案很简单，我将继续摆弄数学。体育运动我从来就不在行，现在就更不用说了。听音乐对我一直是浪费时间，偶尔介入此道，纯粹出于社交之故。所幸的是整体微分几何还有许多基本问题，尽管在其发展中我很可能仅是一名观众。

我认为，研究对象限于光滑流形只是由于技术上的原因，也是不能令人满意的。不仅很自然地存在着非光滑的流形，而且即使从光滑流形开始，诸如包络这样一些几何构造也将导致非光滑流形，Whitney引进了分层流形（Stratifiad manifold）的概念，它允许有奇点并可应用无穷小分析。

最近Robert McPherson的工作又带来了新的希望。Cheeger-Goresky-McPherson相交同调和McPherson陈类已揭示出这一概念的本质。（见2）

对我来说，Riemann结构是否像最新的进展所表明的那样基本还不清楚。毕竟Riemann在那篇历史性的论文中，允许他的度量是一种4次形式的4次根。更一般情形现在称之为Finsler度量。我在最近的一篇中指出，只要采取适当的观点，Finsler几何可以很简单地加以展开。进一步的发展则是必然的。

正如Griffiths曾注意到的，我之所以喜欢代数手法起因于我的经历。局部微分几何需要这样去作，但是要得到漂亮的局部性定理是困难的。很清楚，前面讨论过的有关最大秩的网的问题是很重要的问题，它将受到我的关注。

注：

本文原题My Mathematical Education。译自作者于1991.10.28寄给《陈省身文选》编者的复印中。原文已刊在丘成桐主编的文集《Chern-A Great Geometer of the Twentieth Century》（1992）中。本文现收录在《陈省身──20世纪的几何大师》（《Chern-A Gre at Geometer of the Twentieth Century》中译本），交大出版社出版。

参考文献：
[1]P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley, 1978. 
[2]Robert McPherson, Global questions in the topology of singular spaces, Proc. ICM Warszawa, vol 1, 198 213-235. 
[3] J. Moser, Geometry of quadrics and spectral theory, Chern symposium, Springer-Verlag, 1979, 147-148. 
[4]S. Chern, On Finsler Geometry, Comptes Rendus, Academie des Sciences, Paris (1991).