牛顿因发明微积分而闻名,并且作为代数学家也做出了重要的贡献

从16世纪末到18世纪初,尽管不列颠群岛经历了内战(1642~1651年)、军事独裁(1651~1660年)、光荣革命(1688年)以及两个朝代的更迭(1603年,斯图亚特王朝推翻都铎王朝;1714年,汉诺威王朝推翻斯图亚特王朝),但这里仍然出现了一些优秀的数学家。

我之前提到过哈里奥特,他的精巧的字母符号体系在很大程度上被忽视了(也许笛卡儿曾关注过)。苏格兰人约翰·纳皮尔(1550—1617)虽然作为代数学家不出名,但他发现了对数并于1614 年将其公布于世,还普及了小数点。威廉·奥特雷德(1574—1660)是英国的一位乡村牧师,他写了一部关于代数和三角学的著作,并发明了乘号“×”。约翰·沃利斯(1616—1703)是第一个使用笛卡儿的解析几何技术和符号的人(他是早已不在人世的哈里奥特的拥护者,他坚持认为笛卡儿从哈里奥特那里知道了这些记号)。

▲ 1859年“迈尔斯名人肖像系列雕刻版画”之《艾萨克·牛顿》

然而,所有这些人物都不过是牛顿出场的前奏。这位杰出的天才被公认为科学史上最伟大的人物。他出生于1642年的圣诞节,是英国林肯郡一个比较富裕的农场主的遗腹子。介绍他的人生经历和性格特点的作品已经很多了。下面是我自己以前写过的一段话。

牛顿的人生故事并不吸引人。他从未离开过英格兰东部,也没有从商或从军经历。尽管当时英国宪政史上发生了一些重大事件,但是他似乎对公共事务毫无兴趣。他代表剑桥大学短暂担任国会议员的经历并没有在政治舞台上激起涟漪。牛顿与其他人没有任何亲密关系。据他自述,他终生未娶,这一点似乎毋庸置疑。他同样对友谊也漠不关心,出版著作也是迫于无奈,因此他常常使用假名,因为他担心“公众的持续关注也许会提升我的知名度,但这会影响我最主要的研究工作”。当他不那么无所谓的时候,他与同事总是为一些小事而争吵,他带着令人恼怒的一丝不苟的态度与人交往,从来没有出现过让人愉快的情况。正如英国人常说的一句俗语,他是一个“冷漠的人”(cold fish)。

此时此刻,我忍不住要讲一个我最喜欢的关于牛顿的故事,尽管我知道这个故事广为人知。1696年,瑞士数学家约翰·伯努利(1667—1748)向欧洲数学家提出了两道难题。牛顿在看到这两道题目的当天就解决了它们,并把解答交给英国皇家学会会长。会长把解答寄给伯努利,但是没有告诉伯努利是谁解出来的。伯努利一看到这个匿名解答就知道这是牛顿写的,他说:“我从爪子就能认出这头狮子。”

这只锋利的爪子在代数学历史上留下了重要的痕迹。

牛顿因对科学的贡献和发明微积分而闻名,但是他的代数学家身份不是很有名。事实上,从1673年到1683年,他在剑桥大学讲授过代数,他把讲稿存放在大学的图书馆里。很多年后,当他离开学术界去担任皇家铸币厂厂长时,他的剑桥继任者威廉·惠斯顿(1667—1752)把这些讲稿集结成书出版了,书名是《普遍算术》。牛顿非常不情愿地同意出版此书,他似乎从未喜欢过该书。他拒绝署名,甚至打算把所有出版的书都买下来以便销毁。牛顿的名字既没有出现在 1720年出版的该书的英文版本上,也没有出现在 1722年出版的拉丁文版本上。

然而,让代数历史学家感兴趣的不是《普遍算术》本身,而是年轻的牛顿在 1665年或 1666年写下的一些简短笔记,这些笔记可以在他的《数学全集》第一卷中找到。它们是用英文而不是拉丁文写的,开头是这样的:

每一个形如:x^8+px^7+qx^6+rx^5+sx^4+tx³+vx²+yx+z=0 的方程的 根的个数都等于其次数,所有根之和是-p,每两个根之积的和是+q,每三个根之积的和是-r,每四个根之积的和是+s,等等。

这些笔记没有陈述任何定理。但是,其中隐含了一个定理,这个定理太令人震撼了,数学家们(实际上和《数学全集》的编辑一样)就把这个隐含的定理称作牛顿定理

牛顿定理讲的是,包含任意多个未知量的任意对称多项式都可以用初等对称多项式来表示。

具体内容请见《代数的历史》书中所述。但正如我之前提到的,牛顿的这些笔记让我们知道了牛顿定理,它们是牛顿在其数学生涯早期(1665年或 1666年)写下的。当时他21岁,刚刚获得学士学位。由于瘟疫暴发,剑桥大学被迫停课,牛顿不得不回到乡下他母亲的家中。两年后,学校复课,为了获得奖学金和硕士学位,牛顿回到了学校。在乡下的那两年时间里,牛顿提出了奠定他后来在数学和科学上的发现的所有基本想法。人们常说,数学家在 30 岁之后就做不出任何原创性的工作了。这种说法难免有些苛刻,但是,人们的确可以透过一名数学家的早期工作发现其思维方式和他最感兴趣的主题。

实际上,在做这些笔记的时候,牛顿心里有一个特殊的问题,这个问题是确定两个三次方程何时有一个公共解。然而,以下研究对方程理论的进一步发展和所有源于它的全新代数领域都至关重要:

(1) 一般的对称多项式;

(2) 方程的系数与这个方程的解表示的对称多项式之间的关系。

17世纪末,在解决了三次方程和四次方程问题的120年后,诸如对称、方程的系数、解的多项式等都是解决多项式方程理论中一个最著名的问题的关键,这个问题就是寻找一般五次方程的代数解。

总的来说,与17世纪和19世纪相比,18世纪是代数发展比较缓慢的时期。牛顿和莱布尼茨在17世纪六七十年代发明的微积分开辟了大量新的数学领域,但不包括本书中我所指的代数,而是如今被我们称为“分析”的领域——研究极限、无穷序列、级数、函数、微分和积分等,分析在当时是一个具有魅力的崭新领域,数学家们投入了极大的热情,并且开拓了更多数学新分支。

2021-06-23

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