比圆周率更神秘的“混沌”常数：4.669201609102...
这“混沌”常数
比π还要神秘
40多年前，一个实验室助手拿着一个计算器算出了一个比圆周率更神秘的常数：4.6692......，它涉及了大自然的秘密，开启了混沌现象普适性研究。
超模君今天要讲的就是这位混沌的先驱者：米切尔·费根鲍姆！
30岁前，名下只有一篇文章，曾经历过被学校辞退的他，是如何从一个默默无闻的博士成为一鸣惊人的数学物理学家？
生性古怪，被学校辞退
说到费根鲍姆，更多人想到的是获得图灵奖的爱德华·费根鲍姆，其实米切尔·费根鲍姆也应该让更多人知道。
米切尔·费根鲍姆，1944年出生在美国费城。第二次世界大战后，举家搬迁到布鲁克林定居，他的父母是来自波兰和乌克兰的犹太移民，他父亲是纽约港务局的公务员，母亲是公立学校的老师。
大概是因为父母工作忙，突然转学等原因，导致米切尔·费根鲍姆从小就比较内向，行为在外人看来比较古怪，但却十分思考，常常会有提出一些天马行空的问题。
虽然费根鲍姆生性古怪，但是他学习成绩不差，从小就立志做一名电子工程师，因为他了解到电子是热门专业，毕业后能挣钱。1964年如愿取得了纽约学院的电子工程专业的学士学位。
本科毕业后，离实现梦想仅一步之遥，费根鲍姆面临着选择，一个是能挣钱的电气工程师，很多同学都选择的路；一个是浩瀚的物理海洋。这次，他没有随大流，选择继续探索物理世界。
费根鲍姆跨专业转向物理学，进入麻省理工学院技术研究所读研，花了6年时间潜心在物理领域的热门方向基本粒子，成功取得麻省理工学院的硕士和博士学位。
虽然顺利毕业，但是让人讶异的是，费根鲍姆在硕博士期间并没有拿得出手的学术成果，30岁前只有一篇文章。那是因为大家不看好的新领域混沌理论研究深深吸引了他，让他放弃了大家认为前途一片光明的基本粒子研究。
他之所以没有学术成果，很可能是因为硕博期间就已经开始研究混沌了，那一篇文章或许是用来应付博士毕业的。
博士毕业后，费根鲍姆凭借麻省理工的博士帽子进入了康奈尔大学工作，他每天都花很多时间研究才开始出现的非线性和chaos（混沌），新领域走在前沿，很难出成果。
康奈尔大学认为这是一个暂时看不到未来的方向，更希望费根鲍姆能研究大热的基本粒子领域，而费根鲍姆对混沌的研究已经着迷，不久便被辞退了。
在同行们眼里，费根鲍姆是非常奇怪的一个人。他说话总是很快，往往丢掉冠词和代词，仿佛有点中欧腔。
后来有费根鲍姆在弗吉尼亚理工研究所工作过一段时间，他坚持对混沌研究让他的工作再次受阻，不久便离开了。这次他清楚地认识到要寻找一个能专心研究混沌相关的工作。
1974年，他跳槽到洛斯阿拉莫斯国家实验室理论部给一个教授做助手，没啥地位，工资不高。但是能研究水流紊乱这个世纪大难题，或许对混沌研究有帮助。
发现常数，被认可
虽然在洛斯阿拉莫斯实验室只谋到一个助手的职位，但是却成了他人生的转折点。
费根鲍姆所在研究小组的课题是流体力学中的湍流现象，费根鲍姆需要研究的是：威尔逊的重整化群思想是否可以解决湍流这个世纪老难题。
刚开始时，费根鲍姆并不是十分钟情于研究小组的这个课题，但因为湍流看起来一片混乱，像极了自己热衷的“混沌”，便进行了深入研究。
费根鲍姆工作时像着魔一样，甚至可以不吃饭不睡觉，无法工作时就散步和思考，无论白天还是夜晚。
这个研究方向使得费根鲍姆了解并熟悉了气象学家洛伦茨宣告的“蝴蝶效应”，以及逻辑斯蒂迭代时产生的混沌问题。
蝴蝶效应图像
逻辑斯蒂分岔图
特别是逻辑斯蒂分岔图中出现得越来越多的那些三岔路口，让费根鲍姆非常感兴趣，他觉得这其中肯定存在着某种规律。
虽然他在洛斯阿拉莫斯实验室的地位不高，但是实验室的设备还是很先进的，他得了一个能放在口袋里的HP65计算器，一有空闲，他便一边散步、一边抽烟，不时地还把计算器拿出来编写几句程序。
现在看起来十分简易、当时售价为795美元的HP-65是惠普公司的第一台磁卡-可编程手持式计算器，用户可以利用它编写100多行的程序，还可将程序存储在卡上，对磁卡进行 读写。这在上世纪70年代已经显得很了不得，因而，HP-65的绰号为“超级明星”。
就是这个计算器，在费根鲍姆发现常数过程中，发挥了很重要的作用。他用计算器编程序算出每个三岔路口的坐标，即k值和相应的x无穷值。
费根鲍姆也注意到了随着k的增大，三岔路口到来得越来越快，越来越密集。
从第一个三岔口k1开始：
k1=3
k2=3.44948697
k3=3.5440903
k4=3.5644073
k5=3.5687594......
仅仅从k的表面数值，费根鲍姆没有看出什么名堂，于是，他又算出相邻三岔路口间的距离d：
d1 = k2-k1 = 0.4495...,
d2 = k3-k2 = 0.0946...,
d3 = k4-k3 = 0.0203...，
d4 = k5-k4 = 0.00435...
从这些d之间，费根鲍姆好像看出点规律来！每次算出的下一个d，都大约是上一个d的五分之一！当然，并不是准确的五分之一，而是比例值差不多！好像有个什么常数在这儿作怪，多计算几项看看吧：
d1/d2 = 4.7514，
d2/d3 = 4.6562，
d3/d4 = 4.6683，
d4/d5 = 4.6686，
d5/d6 = 4.6692，
d6/d7 = 4.6694，
......
上面列出的这些比值都很接近，但又并不完全相同，两个相邻比值之间的差别却越来越小。费根鲍姆再计算下去，又多算了几项后，也只能得到一样的数值了，因为计算器的精度是有限的。
于是，费根鲍姆便作了一个猜测，这个比值，(Kn-Kn-1)/(Kn+1-Kn) 当n趋于无穷时，将收敛于一个极限值（也就是费根鲍姆常数）：
δ=4.669201609......
同时，费根鲍姆也注意到，分岔后的宽度w也是越变越小，见图中所标示的w1、w2、w3等等（这个宽度从x=0.5测量，图中的红线）。那么，它们的比值是否也符合某个规律呢？
计算结果再次验证了费根鲍姆的想法，当n趋于无穷时，比值Wn/Wn+1将收敛于另一个 极限值：
α=2.502907875......
原来这两个分岔图存在两个常数，你要知道在物理里，往往一个新常数的出现往往能诞生新的概念，新的理论，像牛顿力学中的万有引力常数G，量子力学中的普朗克常数h等等。
费根鲍姆乐坏了，第一时间打电话告诉父母，自己发现了不平凡的东西，他要一鸣惊人了，他确实压抑太久了。
但是，费根鲍姆再次受挫，他将有关这两个常数的论文寄给物理期刊后，均被退稿，当时混沌的研究刚起步，审稿人没有重视这两个常数。尽管如此，费根鲍姆依旧继续研究。
他开始研究一个新的问题：除了逻辑斯蒂系统之外，在别的系统是不是也按照这个规律出现呢？
费根鲍姆再次拿起HP65计算器对对另一个简单的非线性系统（正弦映射系统）： Xn+1 = k sin(Xn) 产生混沌的倍周期分岔过程作研究。
更多的倍周期分岔混沌系统
结果让费根鲍姆非常激动，问题的答案是肯定的。
正弦映射系统与逻辑斯蒂系统遵循着一模一样的规律。它们诞生的速度比值中都有一个同样的几何收敛因子：
δ=4.669201609......
分岔后的宽度也和逻辑斯蒂系统的分岔宽度，遵循同样的几何收敛因子而减小：
α=2.502907875......
正弦映射和逻辑斯蒂映射的迭代函数完全不一样，一个是正弦函数，另一个逻辑斯蒂映射，是二次的抛物线函数 ：（Xn+1 = kXn·（ 1-Xn））。
这个奇妙的事实说明，δ和α 两个费根鲍姆常数与迭代函数的细节无关，它们反映的物理本质应该是只与混沌现象、或者说是只与有序到无序过渡的某种物理规律有关，这就是学术界最后所领悟到、不得不承认的“费根鲍姆常数的普适性”。
一鸣惊人
1978年他发表了关于映射的研究的重要论文 《一个非线性变换类型的量子普适性》，其中特别谈到了对于混沌理论有直接意义的Logistic映射。费根鲍姆常数的发现，开启混沌普适性的研究，为混沌理论的研究作出了巨大贡献。
他，一个默默无闻的博士，被人口中的怪物成为了数学物理学家，开启了逆袭的人生。他的偏执、爱思考和对工作的疯狂是他成功的重要因素。
1982年，费根鲍姆被请回康奈尔大学做教授，回到了最初的起点，这次不是凭借麻省理工学院的名头混进去的，而是靠硬实力。
1986年，费根鲍姆获得沃尔夫物理奖，同一年，他受聘为洛克菲勒大学教授，直到如今。
逆袭不是两三天就能完成的事，或者是两三年，亦或者是二三十年。
不要停下前进的脚步，你现在也许还一事无成，但是要相信成功离你很近了。