三角形（二十五）

我们再来看一个对称性的应用。

已知∠AOB=30°，OA=7，OB=24，在OB上取点P，AC上取点Q，设d=PA+PQ+QB，求d的最小值。

要我就直接猜25，理由是勾股数。

当然，最后的答案确实是25，而且我也确实没有事后诸葛亮——对数字敏感绝对是有好处的。

既然能用上勾股定理，那么就应该会出来直角三角形，但是图中一个直角都没有，所以我们肯定要加辅助线，构造出一个直角三角形，并且这个直角三角形的两条直角边的长度分别为7和24。

你能不能想到这些？

这是我的思路，而且我觉得这是一条非常漂亮的思路。再次强调对数字的敏感能帮助我们解决很多的问题，千万千万不要小看这种感觉的培养，解题的速度和你对题目的感觉息息相关，而对题目的感觉最初往往来源于对数字的敏感。

更漂亮的还在后面！

这个直角三角形两条直角边定了，那么斜边应该怎么样？如果你只回答出斜边是25，那还是差点意思。

正确答案是：斜边确实是25，但是斜边两个顶点恰好是一条长度为PA+PQ+QB的折线的顶点，这样这条折线的最小值就是25！

是不是很精彩？你再仔细体会一下，为什么会是这样？必然用的两点之间线段最短这条，那么根据我们的猜测，最短距离是25已经构造出来，那么最后一定是拿折线段和这条直角边去比较，这样才有意义。

所以接下来的问题是：怎么构造出这个合适的直角三角形？

由于OA和OB之间的夹角只有30°，不满足条件，不过30°和90°之间好歹还是有很大关系的：一个30°的角是90°的角的1/3，除此之外呢？

除此之外可以按下不表，不过既然是1/3，我们再补上一个60°，不就有直角了么？那么问题来了，是在OC的上方还是OB的下方作一个60°呢？

显然都不合适，理由是破坏了对称性。那么应该怎么作呢？把60°一分为二，分别在OC上方以及OB下方作一个30°角，这样看起来就完美了。

下一步就是怎么把这些线段给归置到位的问题了。很显然，OA应该被对称到OF上，变成OA’，同理，OB对称到OE上，变成OB’，此时长度为25的线段就出现了：A’B’。但是折线段呢？

我们注意到，QB’=QB，PA’=PA，所以折线段B’QPA’的长度就是PA+PQ+QB，很显然，折线段的长度一定是大于等于P’Q’的，当且仅当B’，Q，P，A’四点共线的时候取等号，此时最小值为25.

我们再看一个例子。

在四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40，∠ABD+∠BDC=90°，求四边形的面积。

如果对数字敏感的话，你会发现什么？我们把30和40分在一组，14和48分在一组，这是两组勾股数，而且第三个数都是50，这是巧合么？

一定不会是巧合——何况条件中还有∠ABD+∠BDC=90°。

然而令人沮丧的是：这两组勾股数所在的边都不挨着，哪来的勾股定理呢？再说了，这AB和CD看起来也不像垂直的样子啊？！

所以接下来的工作就是凑出直角三角形来，并且这两个直角三角形有一条公共的斜边，这条斜边的长度为50。

注意到还有一组很诡异的角度和：∠ABD+∠BDC=90°，我们很自然要把这两个角放一起。于是思路就来了：我们做BD的中垂线为对称轴，作AB的对称线段DE，连接BE。显然四边形EDCB的面积和ABCD是相等的。

这时候我们有∠EDC=90°，而且DE=30，CD=40，于是EC=50，再由勾股定理的逆定理可知，∠EBC=90°，这时候求四边形EDCB就变成求两个直角三角形的面积——而且直角三角形的直角边长都是已知的。

关于对称的题目当然有很多，这里仅仅是摘了几个比较典型的例子。对称的思想是超出了平面几何的范畴的，可以延拓到代数中去。因此要提醒孩子，把数学当成一个整体来看待，不要光局限在一个小框框里。对数学的认识提升了，这才是最根本的提升。