再遇“双根式”，十全十美到极致。

还有两天就要高考了，而我，已经开始了新一轮的高三复习。

其实，最近的状态并不算是最好的，因为总有不踏实的感觉。

也许是因为考试月吧，无论是学生还是老师，都有点松懈的样子。

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最近做的最多的事，应当就是做课件和解题了。

做课件，尤其是数学课件的艰难，应当是每位数学老师最头疼的事，真的是费脑、费手且枯燥。

但解题的好处多多，旧题重做，经常会有醍醐灌顶的经历。

今天，也是旧事重提了，分享下双根式函数的处理方法。

这种双根式函数，应当是大家都非常熟悉的了。

记得以前，也曾认真的写过。

但其实发现，依然还是有同学，拿到手以后毫无办法。

其实，这种题的本质很单纯，“有根号的要去根号”嘛。

只是，又有多少同学，对于如何去根号的思路有过认真的总结呢？

学习总是用“兵来将挡，水来土掩”方法，总归是解决不了根本问题的。

所以说，“总结”这个事，真的是非常的重要，尤其是高三的一轮复习，远远比解题本身要重要的多。

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因为前几天又给学生讲了这种题，总感觉在课堂上，是不能讲得很到位的。于是便又用心地写了个思路上的汇总。

而且刻意地，凑了个“十全十美”。

数量积不等式，在向量里应当是很重要和常见的了。

如果只是单纯的求单侧最值，还是挺完美的。

那如果要同时求最大、最小值，就一定要理解数量积的几何意义了。

而且利用这个几何意义，在立体几何里可以求点到平面的距离的。

其实在这个题之前，很多同学都是会下面这个的：

显然，因为变量x的系数互为相反数，平方就是很好、很直接的办法。

系数不再互为相反数时，按照数学解题的基本思想，通过一定的手段将系数变为相反数，也是情理之中的。

只是变形后，还是不能直接平方。但因为根式平方和为定值，故才利用三角函数的平方关系进行三角换元。

对偶式法，其实在三角变换中是一种重要的思路。

就像是三角变换中的给值求值，我认为最好的方法，便是对偶式法。

那么这里的，结合单调性构造对偶式，是不是让你很惊喜！

三角换元的出处，主要有三地：

①平方关系  ②有界性  ③三角公式

而利用有界性三角换元，也是一种最常见的形式。

所以，最好记住下面的这个结论：

这里的三角换元，依然依据的是有界性，只是为了计算的方便，将变量的范围进行了适当的调整。

但这种范围的调整，更是体现了代数变形的灵活性。

这里的数形结合，其实也是通过换元法而得来。

这种换元，我一般称之为“双换元”。

其实，有点线性规划的感觉。

一直认为，柯西不等式，是很多孩子都不能主动想起的。

实在是有点太高级了。

所以，我一直要求学生要理解柯西不等式与数量积不等式之间的关系。

很多时候，我还是愿意从数量积不等式的角度去处理。

导数大法啊，求值域如果实在没办法时，当然就是选它了。

一定行的。

利用方差的非负性，求几数之和的最值，也真的是没谁了吧。

绝对的奇思妙想。

不过，这还真的不是我的原创。但理解后，便果断收为已用了，

还有下面的构造分布列，都是挺出人意料的。

END

十种思路，十全十美！

相信有了今天这篇推送，再遇双根式，应该是不会有太大问题了。

但也真心提醒：做好题后小结，做好通性通法的归纳和整理，于数学的学习来说，真的是最最重要的，不能忽视。