高中数学-双曲线的几何性质

既然是几何性质，那么肯定要借助几何图形来解决。而且题中还给出了一个√3倍的线段关系，如何结合另一个垂直关系，是否就是一个直角三角形呢？

要求出离心率，我们只需要得到a和c的关系即可，根据|PF1-PF2|=2a，如果能够将PF1和PF2用含c的式子来表示，就可以建立等式关系，说不定就可以搞定了呢。

解析：

根据题目可知，|向量OP+向量OF2|相当于OP和OF2组成的平行四边形的对角线，而|向量OP-向量OF2|刚好是另一条对角线，所以根据向量和与差的乘积=0，可知这两条对角线互相垂直，即OP和OF2组成的平行四边形为菱形。

那么不妨画个示意图，

如图，根据刚才分析可知PF2⊥OE，OF2EP为平行四边形，

所以可得PE//F1F2 ,PE=OF2

而OF1=OF2

则OF1=PE

所以四边形F1OEP为平行四边形

那么PF1//OE

所以可得PF1⊥PF2

再结合题目中给出的PF1和PF2的关系

可知PF2=OF2=c

则PF1=PF2+2a=c+2a=√3c

所以c/a=√3+1