用两面夹定理可证sinx/x=π/180（x趋向0，x为角度值）

用两面夹定理可证sinx/x=π/180（x趋向0，x为角度值）.

证明：设圆的半径为r，圆心角角度值为x，则（圆心角所对应的弦三角形面积）小于（圆心角所对应扇形面积）小于（圆心角所对应的外切三角形面积），即（1/2*r^2*sinx）小于（πr^2*x/360）小于（1/2*r*2r*tg（x/2）），由此可得，（sinx）/x小于或等于π/180（x趋向0），sin（x/2）/（x/2）大于或等于π/180*cos（x/2）（x趋向0），即（sinx）/x大于或等于π/180（x趋向0），由两面夹定理得：sinx/x=π/180（x为角度值，x趋向0）……①，sinx/（x*π/180）=1（x为角度，x趋向0）……②.

假设x为弧度值，角度值=x*180/π，则由①可得：sin（x*180/π）/（x*180/π）=π/180（x为弧度值，x趋向0），所以sin（x*180/π）/x=1（x为弧度值，x趋向0）……③.

①、②、③公式表明，无论x为角度值，还是弧度值，都不存在sinx/x=1（x趋向0）.假设x轴为角度数轴，（sinx）’=π/180*cosx，（cosx）’=-π/180*sinx，假设x轴为弧度数轴，（sin（x*180/π））’=cos（x*180/π），（cos（x*180/π））’=-sin（x*180/π），但不存在（sinx）’=cosx（x为弧度值），也不存在（cosx）’=-sinx（x为弧度值），例如y=sin（5x*180/π）（x为弧度值）的导数，y’=5cos（5x*180/π）（x为弧度值），由此可见，用弧度数轴求三角函数的极限、导数、积分将产生新领域、新分支。以上π是圆周率，是纯数值。

特别指出：引入弧度，弧度=弧长/半径，是直接为了解决圆的问题，引入三角函数，三角函数是直角三角形的边长比，是直接为了解决直角三角形的问题，直角三角形的边长不存在弧长，其角度不适用弧度，因此三角函数不适用弧度。虽然弧度和角度通过圆心角得到联系，存在关系：弧度值=角度值*圆周率/180，但是三角函数也不能直接使用弧度，只有弧度先转化成角度，三角函数才能使用，即三角函数不能直接使用弧度。