SAUSG软件钢材塑性本构（二）
上期与小伙伴们一起分享了经典金属塑性本构模型，本期将分享SAUSG软件钢材塑性本构应力求解过程。
SAUSG软件采用经典金属塑性本构模型来模拟钢材，即采用Mises屈服函数，关联流动法则，Ziegler强化法则。
（1）应力-应变关系：
（1）
式中，
为塑性应变，
为材料弹性张量。
（2）屈服准则：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
式中，
为初始屈服应力，
为反应力，
为反应力
的偏张量，
为偏应力张量，
为静水压力，
为单位矩阵。
（3）流动法则：
（7）
（8）
式中，
为塑性势函数，采用与屈服函数相同的函数，
为塑性应变率，
为等效塑性应变率。
（4）硬化法则：
（9）
式中，c为运动硬化模量，
为屈服应力，决定了屈服面的大小。
图1 平面应力下钢材屈服面
，c是与屈服函数有关的一个常数，假设，现推导von Mises屈服准则的c取值。
（10）
对于von Mises屈服准则，
，塑性势函数
与屈服函数
相同，
（11）
则
由上一期文章可知，对于随动强化模型Ziegler强化法则，硬化模量为
（12）
式中，
为折算偏应力，简记为
，注意其他项也取折算应力。
将
，
代入，得
（13）
式中，
计算单元非线性内力需要用到单元应力，单元应力要满足屈服条件、流动法则和硬化条件，是一个比较复杂的问题。通常将求解这一问题的算法称为应力调整算法或应力更新算法，可分为两类，显式算法和隐式算法。以下将简要介绍显式算法。
图 2 应力更新算法示意
已知前一步计算得到的应力
，当前应变增量
，求当前应力
（1） 假设所有应变增量都为弹性应变，得到试算应力
（14）
（2） 将试算应力代入屈服函数，计算屈服函数值
（15）
（3） 如果
，则说明未发生塑性屈服
（16）
计算结束。
（4） 如果
，则进入了屈服阶段，进一步计算
（17）
（18）
得到屈服面附近的一个近似解应力点B
（19）
也可以通过屈服函数的高阶泰勒展开式计算，这一般将导致
的高次非线性方程，求解
必须用数值方法，计算量更大，结果也更精确。
（5） 计算得到的应力的精确程度主要取决于塑性应变增量的计算精确程度，为了获得更好的积分精度，构成弹塑性响应的应变增量通常可再细分成足够多的分量，比如
个分量。计算应变子增量
（20）
积分循环从1到
，可采用欧拉前进法、二阶Runge-Kutta法、四阶Runge-Kutta法等方法。
① 计算屈服面法向向量，对于Mises屈服函数
（21）
对于二维情况
（22）
注意，这里均是折算应力。
② 计算硬化模量
（23）
③ 计算塑性因子增量，也即等效塑性应变增量
（24）
④ 计算塑性应变增量
（25）
⑤ 计算应力增量
（26）
⑥ 计算反应力增量
（27）
（28）
⑦ 检查后继屈服条件，如果
大于屈服函数预设允许值，则执行一致性条件，进行应力修正。该修正经常只需在屈服面的法线方向给应力矢量施加一个修正矢量
（29）
式中，c是一个待确定的小比例系数，由屈服函数一阶泰勒展开式可得
（30）
（6） 更新该分析步应力
（31）
如果需要，计算弹塑性矩阵
（32）
以上即是SAUSG软件钢材应力求解过程，欢迎小伙伴们交流讨论！