SAUSG软件钢材塑性本构（一）
每每提起弹塑性本构，脑海中就会浮现出陆老师（清华大学陆新征老师）在黑板上洋洋洒洒地推导弹塑性矩阵的情景，我当时内心无比崇拜，既是对陆老师渊博学识和敬业精神的敬佩，也是对力学前辈们智慧的叹服。正如陆老师所说，弹塑性本构的理论体系是很完美的，仅仅从一些简单的基本假定就可以推导出全部求解所需的公式。最近笔者在做SAUSG本构参数开放工作，在这里，不妨与小伙伴们一起重温一下弹塑性本构。限于篇幅，本期将简要介绍经典金属塑性本构模型，SAUSG钢材塑性本构求解过程将在下一期分享。
。弹塑性增量理论，要对以下三个方面做出基本假定：
（1）屈服准则
，如Tresca、von Mises、Mohr-Coulomb、Druck-Prager屈服准则等。
，所以也称正交流动法则，若塑性势面
与屈服面
取为相同，即为相关联流动法则，否则，为非关联流动法则。
图1 加、卸载准则
，其中
为硬化参数，它和塑性变形
有关。塑性参数
的变化规律有多种假定，最常用的有做功强化（与总的塑性变形功有关）和应变强化（与总的塑性变形有关）两种。在应力分量之间的比例变化不大的情况下，采用等向强化模型是比较符合实际情况的。
。求解
最简便的方法是假定
与
成正比，这就是Prager强化法则，
。在应力子空间上使用Prager强化法则时，会引起某些不一致，不能保证屈服面只有平移，没有变形。为此，Ziegler修改了Prager强化法则，假定
在折减应力矢量
方向上移动的速率为
，
是图个正的比例因子，与变形历史有关。为简单起见，假定
，
是一个正的常数，
为等效塑性应变增量。对于材料处于循环加载的情况下，可能出现反向屈服的问题，随动强化模型是比较符合实际的。
(a) (b)
图2 强化模型
（a）等向强化模型 （b）随动强化模型
如果将等向强化和随动强化组合起来，便可组成混合强化模型，可表示为
，在这一模型中，既有位置变化，也有屈服面扩大，能更好地描述材料硬化性能，但计算比较复杂。
（1）
，得
（2）
，假设
的大小与应力增量
在屈服面
法向上的投影成正比，即
（3）
为硬化模量。代入（2）式得
（4）
为一个标量，整理得
（5）
（6）
。
。
式中
是有效塑性应变
的函数，
，则
（7）
（8）
代入得
（9）
为一个标量，整理得
（11）
假设
式中
是塑性功
的函数，
，则
（12）
（13）
代入得
（14）
（15）
（16）
对于一维情况，
，
（3）随动强化
1）Prager强化法则
假设屈服函数
式中
则
（18）
，为折算应力，以下为表示方便，将
直接写为，读者应注意，随动强化本构中的
均指
。
代入得
（19）
（21）
（22）
2）Ziegler强化法则
式中
，
，
则
（24）
将
代入得
（25）
（27）
后，代入式（6）即可求得塑性因子增量，从而求得单元积分点的应力。