李善兰《十三种》之尖锥比例四率截积说(3)
李善兰《十三种》之尖锥比例四率截积说(3)
上传书斋：潇湘馆112
何世强 Ho Sai Keung
提要：清‧李善兰着《则古昔斋算十三种》，第三种为〈对数探源〉，其中亦提及尖锥形及对数，本文主要谈及尖锥形由比例四率所截之面积之探索及特色。
关键词：对数探源 截积 尖锥 比例四率
第 1 节 李善兰略传
李善兰（1810年－1882年）原名李心兰，字竟芳，字壬叔，号秋纫，生于清嘉庆十五年（1810年）一月二日，浙江海宁县硖石镇人。据《则古昔斋算十三种》﹝简称《十三种》﹞自序，十岁时即通《九章算术》。道光二十五年（1845年）着《四元解》二卷。从此致力钻研天文、历法与算学，成为清代之著名数学家。
《十三种》第三种为〈对数探源〉，本文取材自此卷。
第 2 节 对数尖锥图之“比例四率”与截积
笔者已有文名为〈李善兰《十三种》之尖锥说与对数 (1)〉及〈李善兰《十三种》之尖锥全积与残积说 (2)〉，本文乃以上两文之补充。
以下为《十三种》之〈对数尖锥图〉：
上图之甲为长方形，其他为尖锥形，包括乙之直角三角形。今设长方形之长为 k ，子丑阔为b，其他尖锥之底亦为 b。
《十三种》尚有以下之结论。《十三种》曰：
此尖锥合积于其直线上作比例四率，线各如其线截其积，则一率截积与二率截积之较必与三率截积与四率截积之较同；一率截积与三率截积之较必与二率截积与四率截积之较同。
今先阐释何谓“比例四率”，清‧《御制数理精蕴‧卷三‧比例》﹝简称《数理精蕴》﹞有比例四率之说，即有四数称为四率：一率、二率、三率、四率。最基本之比例关系便是：
一率：二率 = 三率：四率。或写成
=
。
或写成：四率 =
。
清朝数学界十分流行“比例四率”说，其流行程度“人尽皆知”。本文涉及以“比例四率”法截出尖锥之面积，此等面积有一定之性质，《十三种》曰：
如图甲乙为一率线，甲乙癸壬为一率截积，丙乙为二率线，丙乙癸辛为二率截积，丁乙为三率线，丁乙癸庚为三率截积，戊乙为四率线，戊乙癸己为四率截积。
丙甲壬辛为一率、二率两截积之较，戊丁庚己为三率、四率两截积之较，此二较之积必同丁甲壬庚为一率、三率两截积之较，戊丙辛己为二率、四率两截积之较，此二较之积亦必同也。
以上之法指在〈对数尖锥图〉长方形部份作比例四率之长，从各点作横线至弧线，形成各种不同之截积，“截积”即截出之面积。本文证明以上之说法。
注意下图。AB为一率线，ABKJ 为一率截积，CB为二率线，CBKH 为二率截积，DB 为三率线，DBKG 为三率截积，EB为四率线，EBKF为四率截积。以下为〈对数尖锥四率截积图〉：
将上图改成直角坐标如下，是为〈对数尖锥四率截积横图〉：
以下为各点在 X 轴之坐标E：
，D：
， C：
， A：
， B：k。
以下为各率之长：
一率AB = k –
， 二率CB = k –
， 三率DB = k –
， 四率EB = k –
。
因为四率必有此关系：四率 =
﹝见上文﹞，所以以下关系成立：
k –
=
= (
)(
)×
k2 – e =
移项即可得
=
或
=
﹝四率等式﹞。
今先算出丙甲壬辛面积 CAJH，丙甲壬辛为一率、二率两截积之较，即CBKH – ABKJ
=
=
= – ln (k –
) + ln (k –
)
= ln
= ln
-------------------------------------------- (1)
三率、四率两截积之较，即 EBKF – DBKG = EDGF，
可知 戊丁庚己 = EDGF = ln
= ln
----------- (2)
显然 (1) = (2) 见以上之四率等式。此即以上引文所谓“一率截积与二率截积之较必与三率截积与四率截积之较同”。
又一率、三率两截积之较即DBKG –ABKJ = DAJG。
丁甲壬庚DAJG = ln
------------------------------------------------ (3)
二率、四率两截积之较即EBKF –CBKH = ECHF。
戊丙辛己 ECHF = ln
-----------------------------------------------(4)
显然 (3) = (4)， 见以上之四率等式。此即以上引文所谓“一率截积与三率截积之较必与三率截积与四率截积之较同”也。
又 (1) 与(2) 之差是为“二较之积”。
(1) – (2) 得ln
– ln
= ln
÷
= ln
×
= ln
-------------------- (5)
另外“二较之积”为：
(3) – (4) 得 = ln
– ln
= ln
÷
= ln
×
= ln
------------------ (6)
比较 (5) 与 (6) 式，显然 (5) = (6)，此即所谓“此二较之积亦必同也”。
以下为原文：