李善兰《十三种》之尖锥说与对数(1)
李善兰《十三种》之尖锥说与对数(1)
上传书斋：潇湘馆112
何世强
Ho Sai Keung
提要：清‧李善兰著《则古昔斋算十三种》，第三种为〈对数探源〉，其中亦提及尖锥形及对数，本文主要谈及尖锥形所涉及之曲线及自然对数。
关键词：李善兰 双曲线 尖锥 自然对数
第 1 节 李善兰略传
李善兰（1810年－1882年）原名李心兰，字竟芳，字壬叔，号秋纫，生于清嘉庆十五年（1810年）一月二日，浙江海宁县硖石镇人。据《则古昔斋算十三种》﹝简称《十三种》﹞自序，十岁时即通《九章算术》。道光二十五年（1845年）着《四元解》二卷。从此致力钻研天文、历法与算学，成为清代之著名数学家。
传世之《十三种》计有以下之十三种：
〈方圜阐幽〉一卷、〈弧矢启秘〉一卷、〈对数探源〉二卷、〈垛积比类〉四卷、〈四元解〉二卷、〈麟德术解〉三卷、〈椭圜正术解〉二卷、〈椭圜新术〉一卷、〈椭圜拾遗〉三卷、〈火器真诀〉一卷、〈尖锥变法解〉一卷、〈级数回求〉一卷、〈天算或问〉一卷，共二十四卷。
《十三种》第三种为〈对数探源〉，本文取材自此卷。
第 2 节 李善兰尖锥之形与对数面积说
本文谈及对数与尖锥面积之关系。《十三种》之〈对数探源‧卷一〉曰：
对数之积，诸乘尖锥之合积也，与方圜之较同﹝说详〈方圜阐幽〉﹞。
笔者有文名为〈李善兰之尖锥说与圆面积公式之推导〉，此文即涉及“诸乘尖锥之合积也，与方圜之较”。“方圜之较”乃求圆面积公式，此公式以无穷级数表达。
〈对数探源〉曰：
但方圜之较，自立尖锥起，此则自一长方起。方圜之较，次四乘尖锥，次六乘尖锥，次八、次十，皆用其偶，去其奇。
此则次平尖锥，次立尖锥，次三乘、次四乘，次五、次六，奇偶皆用。方圜之较，诸尖锥之底，皆以渐而减；此则诸尖锥之底皆为齐同之数，三者其异也
圜者，圆也。尖锥对数说则始于一长方形，见下图之甲。方圜之较，只用自乘数为双数﹝本身之数不算在内﹞之尖锥，即只用偶数而不用奇数。尖锥对数说则不同，所乘之次数可奇可偶，见下文。
以下为原文：
以下为《十三种》之对数尖锥图﹝上图之放大图﹞：
《十三种》曰：
如图甲为长方形，乙为平尖锥，丙为立尖锥，丁为三乘尖锥，戊为四乘尖锥，己为五乘尖锥，由是自六乘以上至于无穷，可以类推，不能尽图也。诸尖锥之底，则尽如子丑，无增减也。
上图之甲为长方形，其他为尖锥形，包括乙之直角三角形。今设长方形之长为 a ，阔子丑为b，其他尖锥之底亦为 b。是为“齐同之数”。
以下为上图所代表之尖锥：
甲：x； 乙：x2﹝平方﹞； 丙：x3﹝立方﹞； 丁：x4﹝三乘﹞；
戊：x5﹝四乘﹞； 己：x6﹝五乘﹞。
所谓“对数之积”乃指以下曲线之下方与X 及Y轴，及一固定横轴之长所围成之面积。
今取其图并化简﹝只画最外之曲线﹞又向左旋 90o，化成直角坐标如下图所示。
《十三种》曰：
此尖锥合积中截为二，便与二分之正数对。
2 1
曲线ABC 可以以方程式 y =
---------------- (1) 逼近。若 0 ≦ x < a 即为上图。若 x 在 X 上包括所有数，则 (1) 式是一双曲线，以 X 轴及 x = a为两条正交之渐近线。若 (1) 平移至以原点为中心点，则两枝曲线分别在第二和第四象限。从(1) 式可知 OA =
，又若x → a ，则 y →∞。
第一种情形尖锥合积中截为二份﹝〈对数探源‧卷一〉称为为“段”﹞如上图，即以 E 为 中点。注意曲线C 点不在 CF在线。
E 乃 OF 之中点，OF = a，OE = EF =
。
面积 ABEO (2)
=
=
= –ln (a –
) + ln (a – 0)
= ln a – ln
= ln
= ln 2。
ln 乃自然对数(Natural logarithm）之简写。
面积 BCFE (1)
=
=
= – ln (a – a) + ln (a–
)，
因为 ln (a – a) = ln 0，无此值。故最右方之部份或对数尖锥图之最下方部份不算，不论分成多少份皆如此。最右方部份之面积若记为 (1)，则 (1) 不须计算。
分成二份可得ln 2，此即《十三种》曰“便与二分之正数对”，此处之面积指左方之部份或对数尖锥图之上方部份。
《十三种》曰：
若均截为三，便与三分之正数对。
3 2 1
OG =
，OF =
，OE = a。注意曲线 D 点不在 DE 在线。
面积ABGO
=
=
= – ln (a –
) + ln (a – 0)
= ln a – ln
= ln
= ln
。
面积 BCFG
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln 2。
ABGO + BCFG = ACFO = ln
+ ln 2 = ln (
×2) = ln 3。
此即《十三种》曰“便与三分之正数对”，指最左方之两部份或对数尖锥图之最上方两部份。
以下为分成四份之情况：
4 3 2 1
OK =
，OH =
，OG =
，OF = a。
面积ABKO
=
=
= – ln (a –
) + ln (a – 0)
= ln a – ln
= ln
= ln
。
面积 BCHK
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln
。
面积 CDGH
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln 2。
ABKO + BCHK + CDGH = ADGO
= ln
+ ln
+ ln 2 = ln (
×
× 2) = ln 4。
以下为分成五份之情况：
5 4 3 2 1
OL =
，OK =
，OJ =
，OH =
，OG = a。
面积ABLO
=
=
= – ln (a –
) + ln (a – 0)
= ln a – ln
= ln
= ln
。
面积 BCKL
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln
。
面积 CDJK
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln
。
面积 DEHJ
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln 2。
ABLO + BCKL + CDJK + DEHJ
= ln
+ ln
+ ln
+ ln 2
= ln (
×
×
× 2)
= ln 5。
以下为分成 r 份之情况：
x1 =
，x2 =
，x3 =
，…… xr – 1 =
。
面积和必为
= ln
+ ln
+ ln
+ …… ln
+ ln
+ ln 2
= ln (
×
×
×……
×
× 2)
= ln r。
别证法：
=
=
= – ln[a –
] + ln a
= ln a – ln[a – (a –
)]= ln
= ln
。
= ln a – ln
= ln
= ln r。
注意上式最初含 a ，但最终答案不含a ，表示与 a 无关。
以上即〈对数探源〉所谓：
正数无论多少，但分作几分，所对之对数皆同。
〈对数探源〉得一非常重要之结论，即不论 r 为多少，第r – 1 份之面积与 r 其他值 m 之m – 1 份之面积相同，即同为 ln 2 ﹝见下文﹞。以下四图甲截为二段，乙截为三段，丙截为四段，丁截为五段。
甲上之第二段子丑辰巳积 = 乙上第二段卯午未申积 = 与丙上第二段戊己庚辛积 = 丁上第一段房心尾箕积 = ln 2。见下图之黄色部分。
乙上之第三段寅卯申酉积 = 丙上第三段亥戊辛壬积 = 丁上第三段氐房箕斗积 = ln
。见下图之蓝色部分。
丙上之第四段戍亥壬癸积 = 丁上第四亢氐斗牛积 = ln
。
五段以上理可类推。
若对数尖锥图之尖锥部份略去，只画其长方部份，分成二至十份，二份名甲，三份名乙，四份名丙，…十份名壬，份数之命名从右至左，由 1 开始，最多至 10，1 之面积不算，只算 2 以上之面积。
以下为对数长方二至十份图，相同颜色者表示面积相同：
甲
|
2 |
1 |
乙
|
3 ln 3/2 |
2 ln 2 |
1 |
丙
|
4 ln 4/3 |
3 ln 3/2 |
2 ln 2 |
1 |
丁
|
5 ln 5/4 |
4 ln 4/3 |
3 ln 3/2 |
2 ln 2 |
1 |
戊
|
6 ln 6/5 |
5 ln 5/4 |
4 ln 4/3 |
3 ln 3/2 |
2 ln 2 |
1 |
己
|
7 ln 7/6 |
6 ln 6/5 |
5 ln 5/4 |
4 ln 4/3 |
3 ln 3/2 |
2 ln 2 |
1 |
庚
|
8 ln 8/7 |
7 ln 7/6 |
6 ln 6/5 |
5 ln 5/4 |
4 ln 4/3 |
3 ln 3/2 |
2 ln 2 |
1 |
辛
|
9 ln 9/8 |
8 ln 8/7 |
7 ln 7/6 |
6 ln 6/5 |
5 ln 5/4 |
4 ln 4/3 |
3 ln 3/2 |
2 ln 2 |
1 |
壬
|
10 10/9 |
9 ln 9/8 |
8 ln 8/7 |
7 ln 7/6 |
6 ln 6/5 |
5 ln 5/4 |
4 ln 4/3 |
3 ln 3/2 |
2 ln 2 |
1 |
以上之数为面积为对数﹝包括以上之10﹞，今重列各数之面积如下：
2：ln 2 ， 3：ln
， 4：ln
， 5：ln
， 6：ln
， 7：ln
，
8：ln
， 9：ln
， 10：ln
。
若分成11 或以上之份数，情况相同。