李善兰《十三种》之尖锥全积与残积说(2)
李善兰《十三种》之尖锥全积与残积说(2)
上传书斋：潇湘馆112
何世强
Ho Sai Keung
提要：清‧李善兰着《则古昔斋算十三种》，第三种为〈对数探源〉，其中亦提及尖锥形及对数，本文主要谈及尖锥形所涉及之全积及残积之性质。
关键词：李善兰 尖锥 全积 残积
第 1 节 李善兰略传
李善兰（1810年－1882年）原名李心兰，字竟芳，字壬叔，号秋纫，生于清嘉庆十五年（1810年）一月二日，浙江海宁县硖石镇人。据《则古昔斋算十三种》﹝简称《十三种》﹞自序，十岁时即通《九章算术》。道光二十五年（1845年）着《四元解》二卷。从此致力钻研天文、历法与算学，成为清代之著名数学家。
《十三种》第三种为〈对数探源〉，本文取材自此卷。
第 2 节 全积与残积截取相同之段数
笔者已有文名为〈李善兰《十三种》之尖锥说与对数 (1)〉，本文乃其补充。
以下为《十三种》之对数尖锥图：
《十三种》曰：
如图甲为长方形，乙为平尖锥，丙为立尖锥，丁为三乘尖锥，戊为四乘尖锥，己为五乘尖锥，由是自六乘以上至于无穷，可以类推，不能尽图也。诸尖锥之底，则尽如子丑，无增减也。
上图之甲为长方形，其他为尖锥形，包括乙之直角三角形。今设长方形之长为 a ，子丑阔为b，其他尖锥之底亦为 b。是为“齐同之数”。
《十三种》尚有以下之结论。《十三种》曰：
此尖锥合积无论全积残积，但同截为几段，则自上而下至最下第二段，其逐段之积皆同。
以上之论不易明白，以下为详细之说明。
﹝一﹞
如图甲为全积，乙为残积﹝凡残积皆截去上一段﹞，试同截为二段，则全积上第二段子寅午辰积必与残积上第一段丙戊壬庚积同也。
上图左方之甲为“全积”，即“对数尖锥图”之化简。右方之乙为“残积”，即截去上方部份﹝高度之半﹞之“全积”是为“残积”。注意寅午乃长方形之中线。上图之甲全积依中线截成一半，其残积又依余下线段之中线截成一半，甲全积之上半部份之面积等于乙残积之上半部份面积。即子寅午辰积必与残积上第一段丙戊壬庚相等。
以上为分成两部份之全积及残积之情况。上两图左转 90O 并化成直角坐标系统如下图所示：
曲线ABCD 可以以方程式 y =
---------------- (1) 逼近。若 0 ≦ x < a 即为上图。若 x 在 X 上包括所有数，则 (1) 式是一双曲线，以 X 轴及 x = a为两条正交之渐近线。若 (1) 平移至以原点为中心点，则两枝曲线分别在第二和第四象限。从(1) 式可知 OA =
=k，又若x → a ，则 y →∞。
上图之OH =
，HF =
，OG =
，OF = a。F 点为 x2。
子寅午辰即面积 OHBA
=
=
= – ln (a –
) + ln (a – 0)
= ln a – ln
= ln
= ln 2。
丙戊壬庚面积 = 面积 CDGH
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln 2。
所以子寅午辰积与残积上第一段丙戊壬庚相等。
﹝二﹞
《十三种》曰：
或同截为四段，则全积上第四段子丑巳辰积必与残积上第四段丙丁辛庚积同。
若果全积分成四部份，从下至上标示为一、二、三及四；残积又分成四部份，从下至上亦标示为一、二、三及四；则各自最上﹝第四部份﹞之面积相等。
改成坐标系统如下图：
4 3 2 1
子丑巳辰面积 = 面积 OKBA
=
=
= – ln (a –
) + ln (a – 0)
= ln a – ln
= ln
= ln
。
上图之 OM =
+
=
。
丙丁辛庚面积 = GMLD =
=
= – ln (a –
) + ln (a –
) = ln
– ln
= ln
= ln
。
所以子丑巳辰面积 = ABKO = 丙丁辛庚面积 = GMLD，见上图蓝色阴影部份。另外，甲全积之第四部份等于乙残积之第四部份。
﹝三﹞及﹝四﹞
《十三种》曰：
全积上第三段丑寅午巳积必与残积上第三段丁戊壬辛积同；全积上第二段寅卯未午积必与残积上第二段戊己癸壬积同也。
以上相同颜色部份相等，证明见后。
从上图可知 OM =
+
=
，ON =
+
=
，
OQ = ON + NQ =
+
=
。
丁戊壬辛面积 = LMNP =
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln
。
丑寅午巳面积 BCHK﹝第 3 部份﹞
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln
。
所以丑寅午巳面积 = BCHK =丁戊壬辛面积= LMNP，见黄色阴影部份。另外，甲全积之第三部份等于乙残积之第三部份。
戊己癸壬面积= PRQN =
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln 2。
寅卯未午面积 = 面积 CDGH
=
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln 2。
因此寅卯未午面积 = CDGH = 戊己癸壬面积 = PRQN，见蓝色阴影部份。另外，甲全积之第四部份等于乙残积之第四部份。
第 3 节 全积与残积截取不同之段数性质
上节谈及全积与残积截取相同之段数，除第一段外，全积与残积中相同段数之面积相等。若全积与残积所截取之段数不同，则相等面积之段数位置亦同。
《十三种》曰：
如图甲全积截为四段，乙残积截为三段，全积上第二段戊己癸壬积必与残积上第二段丑寅巳辰积同。全积上第三段丁戊壬庚积必与残积上第三段子丑辰卯积同也。
如下两图，甲全积分截为四段，从下至上标以 1 至 4，而乙残积则分截为三段，从下至上标以 1 至 3，则全积 2 = 残积 2，则全积 3 = 残积 3。
先画出以下两图：
以上相同颜色部份相等，证明见后。
从上图可知 OM =
+
=
=
，ON =
+
=
。
先算出绿色部份面积：
丑寅巳辰面积 = PSNM =
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln 2。
戊己癸壬面积 = 面积CDGH = ln 2，见前文。
戊己癸壬面积 = CDGH = 丑寅巳辰面积 = PSNM，见绿色阴影部份。
另外，甲全积之第二部份等于乙残积之第二部份。
再算出浅红色部份面积：
子丑辰卯面积 = DPMG =
=
= – ln (a –
) + ln (a –
)
= ln
– ln
= ln
= ln
。
丑寅午巳面积 = 面积 BCHK = ln
，见上节。
丑寅午巳面积 = BCHK = 子丑辰卯面积 = DPMG，见淡红色阴影部份。
另外，可知甲全积之第三部份等于乙残积之第三部份。
以下为原文：