《測圓海鏡》圓城圖之太虛弦﹝6﹞等式說

《測圓海鏡》圓城圖之太虛弦﹝6﹞等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及太虛弦、極弦、大差弦相關之等式。

關鍵詞：太虛弦、極弦、大差弦、虛弦

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

《測圓海鏡》之〈諸弦〉篇涉及諸勾股形之斜邊，本文重點在於証明太虛弦之等式，而諸弦之位置可參閱以下兩圖。筆者已有文談及此類等式名為〈《測圓海鏡》圓城圖之諸弦篇﹝1﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之極弦及諸弦篇﹝2﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之邊弦及相關弦﹝3﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之黃廣弦及髙弦﹝4﹞說〉及〈《測圓海鏡》圓城圖之髙弦及平弦﹝5﹞等式說〉。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

第 13 點為“泛”﹝一作“水”﹞，第 7點為“朱”，第 12 點為“心”，第 8 點為“青”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓，圓徑式經常出現於十五勾股形之三邊。

以下為與太虛弦有關之等式：

太虛弦： 加入極弦為極和。極弦內去之即明

二弦共。再去之則明大差

小差併也。加於大差弦即黃廣弦。加於小差弦即黃長弦。內去明勾則

股。　加明勾為圓徑內少虛黃

股共。加入明股為明和

股共。減於明股即明較內去

股。加入明弦為極股。減於明弦為明大差

小差內少個

弦。加於明和即兩個虛弦一個髙差共也。減於明和即髙差也。內去

勾即明勾

較共。又為

股平差共。加於

勾即

和明勾共。加於

股為二虛弦內少明勾。又為圓徑內少虛黃明勾共。內減

股即明勾。

注意月山太虛弦﹝簡稱太虛弦，在勾股形月山泛 13﹞：

c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)，見上圖。

以下為各條目之証明：

加入極弦為極和。

極弦，即皇極弦﹝在勾股形日川心 12﹞。

已知皇極弦 = c₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

太虛弦 + 皇極弦 = c₁₃ + c₁₂ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²+

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[(a₁ + b₁ – c₁) + c₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) 。

“極和”即皇極勾股和。

皇極勾股和= b₁₂ + a₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

+

]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)。

比較兩式，可知皇極弦加入極弦為極和。

極弦內去之即明

二弦共。

“極弦內去之”指從皇極弦減去太虛弦。

皇極弦 – 太虛弦 = c₁₂– c₁₃ 。

c₁₂ – c₁₃ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)[c₁ – (a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

已知明弦﹝在勾股形日月南 14﹞：c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

又已知

弦﹝在勾股形山川東 15﹞：c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“明

二弦共”即明弦 +

弦 = c₁₄ + c₁₅。

c₁₄ + c₁₅ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

比較兩式，可知極弦內去太虛弦 = 明

二弦共。

再去之則明大差

小差併也。

“再去之”指極弦內去太虛弦，再減太虛弦，或曰上條答案再減太虛弦。

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁ + b₁ – c₁)[(2c₁ – a₁ – b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(3c₁ – 2a₁ – 2b₁) 。

“明大差”即明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾弦較。

明弦勾弦較 = c₁₄ – a₁₄

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

– 1]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

“

小差”即

弦﹝在勾股形山川東 15﹞上股弦較。

弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

“明大差、

小差併”即以上兩式之和：

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)² +

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)² + (c₁ – b₁)²]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[c₁² – 2c₁a₁ + a₁² + c₁²– 2c₁b₁ + b₁²]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[3c₁² – 2c₁a₁ – 2c₁b₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(3c₁ – 2a₁ – 2b₁)。

所以極弦內去太虛弦，再減太虛弦= 明大差 +

小差。

加於大差弦即黃廣弦。

“加於大差弦”指太虛弦加以大差弦。

已知天月大差弦﹝簡稱大差弦﹞：c₁₀ =

(c₁ – a₁)。

太虛弦 + 大差弦 = c₁₃ +c₁₀。

c₁₃ + c₁₀ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)[

(c₁ – b₁) + 1]

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)( – b₁ + c₁ + a₁)

=

(a₁b₁ – c₁b₁ + c₁² – a₁²)

=

(a₁b₁ – c₁b₁ + b₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

已知天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞：c₄ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知太虛弦+ 大差弦 = 黃廣弦。

加於小差弦即黃長弦。

“加於小差弦”指太虛弦 + 小差弦。

山地小差弦﹝簡稱小差弦﹞：c₁₁ =

(c₁ – b₁) 。

太虛弦 + 小差弦 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)[

(c₁ – a₁) +1]

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)( – a₁ + c₁ + b₁)

=

(a₁b₁ – c₁a₁ + c₁² – b₁²)

=

(a₁b₁ – c₁a₁ + a₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

月地黃長弦﹝簡稱黃長弦﹞：c₅ =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知太虛弦+小差弦 = 黃長弦。

內去明勾則

股。

“內去明勾”指太虛弦內減明勾﹝在勾股形日月南 14﹞。

南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

太虛弦 – 明勾 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)² –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ – c₁a₁ + a₁²)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – b₁²)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

已知

股﹝在勾股形山川東 15﹞：b₁₅ =

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

所以太虛弦 – 明勾 =

股。

加明勾為圓徑內少虛黃

股共。

明勾式見前。先算出：

太虛弦 + 明勾 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)² +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ + c₁a₁ – a₁²)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – c₁²+ 2c₁a₁ – a₁²) 。

“黃”即黃方。“虛黃”即太虛黃方。

已知虛黃 = 太虛弦三事較 = 太虛弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(– c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(– c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²(a₁ + b₁ – c₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(a₁ + b₁ – c₁)²。

已知

股：b₁₅ =

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。圓徑 = a₁ + b₁ – c₁。

虛黃 +

股

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

+

(c₁ – a₁)]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + 2c₁ – 2a₁)。

圓徑內少虛黃

股共，即：

(a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + 2c₁ – 2a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[1–

(c₁ – b₁)(b₁ + 2c₁ – 2a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2a₁b₁ – c₁b₁ – 2c₁² + 2c₁a₁ + b₁² + 2c₁b₁– 2a₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(– 2c₁²+ 2c₁a₁ + b₁² + c₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(– c₁² – a₁² – b₁²+ 2c₁a₁ + b₁² + c₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(– c₁² – a₁² + 2c₁a₁ + c₁b₁) 。

所以太虛弦+ 明勾 = 圓徑內少虛黃

股共。

加入明股為明和

股共。

已知日南股﹝又稱明股在勾股形日月南 14﹞：b₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

太虛弦 + 明股 = c₁₃ +b₁₄

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)² +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ + c₁b₁ – a₁b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ – a₁b₁) 。

“明和”即明弦勾股和 = b₁₄ + a₁₄。

b₁₄+ a₁₄  =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

已知山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

因此明和

股共

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)[

(c₁ – a₁)(a₁ + b₁) + (c₁ – b₁)]

=

(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – a₁² – a₁b₁ + b₁c₁ – b₁²)

=

(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁b₁ + c₁a₁ – a₁² – a₁b₁ – b₁²)

=

(a₁ – c₁ + b₁)(2c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – a₁b₁) 。

比較兩式可知相同，所以太虛弦 + 明股 = 明和

股共。

減於明股即明較內去

股。

明股 – 太虛弦 = –c₁₃ + b₁₄

= –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= –

(b₁ – c₁ + a₁)² +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[ –

(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)( –c₁b₁+ c₁² – c₁a₁ + c₁b₁ – a₁b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁² – c₁a₁ – a₁b₁) 。

“明較”即明弦勾股較 = b₁₄ – a₁₄ 。

b₁₄ – a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

–

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) 。

已知山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明較內去

股，即明較 –

股，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[c₁b₁ – c₁a₁ – a₁b₁ + a₁² – c₁b₁ + b₁²]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[ – c₁a₁ – a₁b₁ + c₁² ] 。

比較答案兩式，可知明股– 太虛弦 = 明弦勾股較。

加入明弦為極股。

“加入明弦”指太虛弦加以明弦。

已知明弦﹝在勾股形日月南 14﹞：c₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

太虛弦 + 明弦 = c₁₃ + c₁₄

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)² +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – c₁ + a₁ + c₁ – a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁) × b₁

=

(a₁ + b₁ – c₁)。

已知日心股﹝又稱皇極股，簡稱“極股”﹞：b₁₂ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

比較答案兩式，可知太虛弦 + 明弦 = 極股。

減於明弦為明大差

小差內少個

弦。

“減於明弦”指明弦 – 太虛弦，即c₁₄ – c₁₃：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(b₁ – c₁ + a₁)²

=

(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁) – (b₁ – c₁ + a₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[ c₁ – a₁ – b₁ + c₁ – a₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁) (2c₁ – 2a₁ – b₁)。

“明大差”指明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾弦較=c₁₄ – a₁₄。

c₁₄ – a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

– 1]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

又“

小差”指

弦﹝在勾股形山川東 15﹞上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[

– 1]

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

=

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

山川

弦﹝簡稱

弦﹞：c₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“明大差、

小差內少個

弦”指前兩式相加減去第三式，即：

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² +

(c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)
–

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)² + (c₁ – b₁)² – c₁(c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁² – 2c₁a₁ + a₁² + c₁²– 2c₁b₁ + b₁² –c₁² + c₁b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁² – 2c₁a₁ + a₁² – c₁b₁ + b₁² )

=

(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁² – 2c₁a₁ – c₁b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁) (2c₁ – 2a₁ – b₁)。

所以太虛弦減於明弦 = 明大差

小差內少個

弦。

加於明和即兩个虛弦一个髙差共也。

“明和”指明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾股和。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“加於明和”即太虛弦 + 明和，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)² +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[c₁(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(a₁ + b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ + c₁a₁ + c₁b₁ – a₁² – a₁b₁]

=

(b₁ – c₁ + a₁)[2c₁b₁ – c₁²+ 2c₁a₁ – a₁² – a₁b₁]。

已知虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞：c₁₃ =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

“髙差”指髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞上勾股較。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

“兩個虛弦一个髙差共”即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)² +

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)[

(a₁ + b₁ – c₁) +

(b₁ – a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – 2c₁² + b₁² – a₁b₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁² –b₁² + b₁² – a₁b₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁² – a₁b₁]。

所以太虛弦+ 明和 = 兩个虛弦 + 髙差。

減於明和即髙差也。

“明和”即明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾股和。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[

+

]

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

“減於明和”即明和 –太虛弦，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –

(b₁ – c₁ + a₁)²

=

(b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁)(a₁ + b₁) – c₁(b₁ – c₁ + a₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – a₁² – a₁b₁ – c₁b₁ + c₁²– c₁a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(– a₁² – a₁b₁ + c₁²)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(b₁² – a₁b₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

“髙差”即髙弦﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞上勾股較。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

比較兩式，可知明和 –太虛弦= “髙差”即髙弦上勾股較。

內去

勾即明勾

較共。

已知東川勾﹝又稱

勾，在勾股形山川東 15﹞：

a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“內去

勾”指太虛弦 –

勾，即：

太虛弦 –

勾=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)² –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)[

(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)]

=

(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – c₁a₁ + a₁b₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ – c₁² + a₁b₁) 。

已知南月勾﹝又稱明勾，在勾股形日月南 14﹞：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

“

較”指

弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

–

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

明勾

較共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)[(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(b₁ – a₁)]

=

(a₁ – c₁ + b₁)(c₁a₁ – a₁² + c₁b₁ – c₁a₁ – b₁²+a₁b₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)(– a₁²+ c₁b₁ – b₁²+ a₁b₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)(– c₁²+ c₁b₁ + a₁b₁) 。

比較兩式，可知太虛弦–

勾 = 明勾 +

較。

又為

股平差共。

已知山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ =

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(1 –

)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

(b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

=

[(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

=

(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

股平差共 =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁) [

(c₁ – b₁) +

(b₁ – a₁)]

=

(a₁ – c₁ + b₁)( c₁b₁ – b₁² + a₁b₁ – a₁²)

=

(a₁ – c₁ + b₁)(– c₁²+ c₁b₁ + a₁b₁)。

與上條目答案式比較，可知太虛弦–

勾 =

股 + 平差。

加於

勾即

和明勾共。

已知

勾：a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“加於

勾”指太虛弦 +

勾。即：

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)² +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁²+ c₁a₁ – a₁b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁b₁) 。

“

和”即

弦上勾股和。

弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(

+

)

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

和明勾共

=

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(a₁ – c₁ + b₁)[

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁) + (c₁ – a₁)]

=

(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – b₁² – a₁b₁+ c₁a₁ – a₁²)

=

(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + 2c₁a₁ – b₁² – a₁b₁– a₁²)

=

(a₁ – c₁ + b₁)(c₁b₁ + 2c₁a₁ – c₁² – a₁b₁)。

比較答案兩式，可知太虛弦+

勾 =

和 + 明勾。

加於

股為二虛弦內少明勾。

已知山東股﹝又稱

股﹞：b₁₅ =

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

“加於

股”即太虛弦 +

股，即：

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)² +

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(c₁b₁ + c₁a₁ – c₁²+ c₁b₁ – b₁²)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ + c₁a₁ – c₁² – b₁²)。

已知虛弦 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)，二虛弦 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) 。

明勾：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

二虛弦內少明勾即：

二虛弦 – 明勾 =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)² –

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=

(b₁ – c₁ + a₁)[

(b₁ – c₁ + a₁) –

(c₁ – a₁)]

=

(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – 2c₁²+ 2c₁a₁ – c₁a₁ + a₁²)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – 2c₁²+ c₁a₁ + a₁²)

=

(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – c₁² – a₁² – b₁² + c₁a₁ + a₁²)。

=

(b₁ – c₁ + a₁)(2c₁b₁ – c₁² – b₁² + c₁a₁)。

所以太虛弦+

股 = 二虛弦內少明勾。

又為圓徑內少虛黃明勾共。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上文。

已知“虛黃” = 太虛弦三事較 = 弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= –

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) ﹝見前﹞。

又已知明勾﹝在勾股形日月南 14﹞：a₁₄ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

虛黃明勾共=

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) +

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) ]

=

(c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)[

(c₁ – b₁) +

]

=

(c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁ – 2b₁ + a₁]

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁² – 2b₁c₁ + c₁a₁ – 2a₁c₁ + 2a₁b₁ – a₁²)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁² – 2b₁c₁ – a₁c₁ + 2a₁b₁ – a₁²)。

圓徑內少虛黃明勾共

= (a₁ + b₁ – c₁) –

(c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)[2c₁ – 2b₁ + a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁) [1 –

(c₁ – a₁)(2c₁ – 2b₁ + a₁)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[2a₁b₁ –(2c₁² – 2b₁c₁ – a₁c₁ + 2a₁b₁ – a₁²)]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[2a₁b₁ –2c₁² + 2b₁c₁ + a₁c₁ – 2a₁b₁ + a₁²]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ –2c₁² + 2b₁c₁ + a₁c₁ + a₁²]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ –c₁² – a₁² –b₁² + 2b₁c₁ + a₁c₁ + a₁²]

=

(a₁ + b₁ – c₁)[ –c₁² – b₁²+ 2b₁c₁ + a₁c₁]。

比較上式與前式，可知太虛弦+

股 = 圓徑內少虛黃明勾共。

以下為《測圓海鏡細草》原文：