调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的，永远不要相信直觉

如果你看看下面的表达式：

你可能会想知道，一直加下去会得到怎样的结果。后面的数字不断变小，直到它可以忽略不计。你可能想知道它是否仍然对总和有贡献。

这个表达式被称为 "调和级数"。N项调和级数的值是1到N倒数的和。

前五项（N=5）是：

那么，前100项、前1000项、前100万项、前100亿项是多少？它们是否收敛于一个值？

让我们来计算这些：

• N = 5 → 2.28333...
• N = 10 → 2.92897...
• N = 100 → 5.18738...
• N = 1000 → 7.48547...
• N = 1000000 → 16.69531...
• N = 1000000000 → 21.30048...

由此可见，调和级数增长得非常慢，在10亿次之后，只能达到21.3004，之后增长速度越来越慢。它实际上需要：

15092688622113788323693563264538101449859497项才能超过100。那么，它最终会去哪里？它是 "停 "在某个具体的值上，还是继续增长？

让我们看看其他级数是否会收敛到某个数值上。例如，让我们看一下平方的倒数：

我且称它为 "平方级数"，它其实没有官方的名字。事实上，这个级数确实收敛，收敛到（π^2）/6（=1.644934）。

这被称为 "巴塞尔问题"，它确立了莱昂哈德-欧拉在数学界的地位，因为他用非常简洁的方法解决了这个问题。

你可能会对 "π"的出现感到惊讶。这里出现的π^2有很多 "原因"，没有单一的答案。这更像是说水为什么是蓝色的。水首先不是蓝色的，天空是蓝色的，这本身与你自己的眼睛有很大关系，也与复杂的电磁力和其他物理学有很大关系。

归根结底，所有这些都与宇宙的真理相联系，但有几种方法可以将这些真理连接成一个解释。基本上，一个 "无限长的线 "的问题可以被转换为一个 "无限大的圆 "的问题。虽然圆的长度和直径变得无限大，但它们的比率保持不变：π。

“平方级数” ：

趋近于 "某数 "的原因是相当容易理解的，不需要借助于一些更复杂的力学。

我们看看另一个级数：

其中分母按照1，2，6，12，20，......的顺序排列，即：

并注意两个事实：

• 首先，它比平方级数大，因为平方级数的分母总是更大，所以倒数之和更小。
• 第二，你可以把这个级数改写为：

现在，只要消去这些项，你就会看到这个最终变成了2。

因此，通过结合上面的两个事实，你可以确定 "平方级数 "是比2小的正数。这意味着它（平方级数）收敛到比2小的数值上。

现在，让我们在调和级数上尝试同样的方法。我们先把它改写为：

括号内的每项都大于等于1/2。所以，整个级数比（1/2）n要大，当n无穷大时，级数也是无穷大的。

由于调和级数以1/N的速度增长，这让人很容易想起自然对数函数，它也是以1/x的速度增长（这个速度随着x越来越大而不断减慢）。

• 对数函数

自然对数函数表示e的几次幂才能得到x的函数。虽然对数函数的增长速度非常慢，需要超过10^434项才能达到1000。但它确实是发散的。

调和级数就像对数函数的一个的兄弟，只是把 "e "而不是 "10 "作为其指数。另外，让数字 "10 "出现在这里比数字 "π "或 "e "更疯狂。

现在，有三个关于调和级数的奇怪事实。

欧拉-马斯克若尼常数（The Euler-Mascheroni constant）

首先，看一下调和级数和对数函数的图像。它们之间有一个差值，在无穷远处，这个差异会变成一个特定的数字。

这个数字是欧拉-马斯克若尼常数，它是0.5772156649....

这个数字是否是无理数甚至是超越数（超越数的意思是，它是否可以成为某个涉及x的幂的方程的解），这是数学中最悬而未决的谜团之一。许多数学家认为，以我们目前的条件，永远也解决不了这个问题！

欧拉-马斯克若尼常数是一个相当不直观的数字，出现在许多结果中。它似乎说明了自然数的“粒度”性，因为它们与实数的连续性相违背。

目前还不清楚物理宇宙中一些更 "奇特 "的数字（例如精细结构常数）是否与之有某种关系，这可能会加重物理学家的负担，但对我来说，我宁愿希望它们有根本的联系。

交变调和级数

关于调和数列的另一个奇怪的事实是交变调和级数。

相当奇怪的是，这个级数确实收敛（到ln 2）。

这可能不直观，但是，如果你重新排列这些级数项，实际上可以改变结果。例如，如果改写：

为：

并计算出这个级数，总和也会是原来的一半。注意我们没有剔除任何一项，只是重新排列了它们。

事实上，有可能以这样的方式重新排列交变调和级数，可以用它的无限之和来表示任何数字。只是项的排列最终会对最后的结果产生影响。

当涉及到无穷大时，不要相信你的直觉。

缺失的数字

如果你“剔除”调和级数中出现的一些数字，就会发生一些意想不到的事情。让我们来看看，如果我们剔除所有分母中含有 "3 "的数字会发生什么：

我们剔除了1/3和1/13这两个项，因为它们的分母中有一个 "3"。如果我们计算这个级数的值，会发现在这种情况下，这个级数确实收敛了。

事实上，如果我们按照任何模式剔除数字（无论我们剔除的数字中含有 "4"，还是含有 "5876846 "字符串的数字，任何模式），剔除足够多的数字，调和级数将不再发散到无穷大，而是很快收敛到非常小的数字。

我希望你能好好想想这个问题：如果我们把所有分母中有“989078748629”的数字都去掉（不管你能想到什么数字），剔除足够多的项，级数将不再趋于无穷。

正如你所看到的，调和级数的发散性是相当脆弱的，有稍微的变动，级数就不再收敛。因此，永远不要相信你自己的直觉！你的直觉是什么？