一线三垂直模型构造全等三角形（二）

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本文摘自《初中数学典型题思路分析》的计划增补几何模型资料！

一线三垂直模型构造全等三角形

【模型说明】

一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】

过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.

常见的两种图形：

【典型例题3】

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.

【答案解析】

（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE

∴∠BDA=∠AEC=90°

∴∠ABD+∠BAD=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠EAC=90°

更多内容见公众号：初中数学解题思路

∴∠ABD=∠EAC

在△ABD和△CAE中

∠ADB=∠CEA=90°

∠ABD=∠EAC

AB=CA

∴△ABD≌△CAE(AAS)

AD=CE,BD=AE

∵AE=AD+DE

∴BD=DE+CE

（2）在△ABD和△CAE中

∠ADB=∠CEA=90°

AB=CA

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AD=CE,BD=AE

∵AE=DE-AD

∴BD=DE-CE.

【典型例题4】

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=1/2BD.[

【答案解析】证明：延长CE、BA相交于点F.

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°

∴∠EBF=∠ACF.

又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=CF

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在△BCE和△BFE中

∠EBF=∠CBE

BE=BE

∠CEB=∠FEB

∴△BCE≌△BFE(ASA)

∴CE=EF

∴CE=1/2CF=1/2BD