答网友问：导数与三角函数恒成立问题

重庆·云师堂

一位神秘网友发来一题，成功引起了我的注意。

是网友，还是题？

是网友的题的背后所潜藏的令人有点不知所措的没有多大坏心眼的雕虫小技。

能不能严肃点？

这是聊斋，又不是教材。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

没什么好说的，高考的标准模式。

第（1）问，讨论零点，毫不掩饰送分。

第（2）问，分类讨论抑或分离参数。不分不压轴，这是铁律。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

证明函数在区间上无零点，没有悬念——函数值恒正（或恒负）。然而零点存在定理的影子都未瞅着，真是挂羊头卖狗肉，改为证明不等式岂不便宜？

当然，这是我的一厢情愿。

法1，代入参数求导，利用三角函数的有界性即可判定符号，进而确定函数的单调性，得到函数无零点。

法2，利用切线不等式放缩（见脑洞），这是必备的神器。但这种写法不好，不如假装拨弄一番以示证明。

法1，气贯长虹，一气呵成，我差点被自己感动。

没错，分类讨论一定可行。但做到表述严谨，不重不漏是需要两把刷子的。第一把便是确定分类标准，关键在于扼住余弦函数的有界性。

别以为过了这关，后续便一马平川，确定极小值的范围同样步履维艰。所以第二把刷子——放缩，使得极小值非负。

若不放缩，而采用隐零点代换，会是什么造型？你试试。

相较法1，法2清新脱俗，令人难以抗拒。

可依旧有不少英雄为此折戟沉沙。

分离参数不会是绊脚石，求导亦不在话下，那么原因只有一个——未能妥善处置导函数。大多数人习惯了“求导，求导，再求导”，这本身没有错，错在求导后未合理变形确定符号。

求导应愈少愈好，切忌苍蝇见血，触石决木。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

我知道，有人很失望，本想端点效应一展身手，结果铩羽而归。

是本题欺人太甚？还是自己夜郎自大？

皆非也，实乃思维定势，未能变通也。

事实上，除了端点效应，还有极值点效应，最值点效应，零点效应等。无论是什么效应，皆可归为必要条件探路。

是的，只这一板斧便可风卷残云，横扫千军。

有人说，区间端点不在话下，可区间内点便无能为力。

内点又何足道哉，2020年高考全国1卷理科压轴题岂非如此。且将区间分割，内点敢不成为端点。

笛卡尔的叨有云：“兵无常势，水无常形”，无论何事，皆赖因势利导，随机应变。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故